Matematyka.pl

Witam! zadanie z którym mam problem:

W ruchu harmonicznym tłumionym ciała o masie m energia zmalała 4-krotnie po czasie t=2T. Jak w tym czasie zmienia się amplituda drgań oraz jaki jest współczynnik oporu ośrodka?

wiem tyle, że amplituda zmniejsza się ze wzoru: \(\displaystyle{ A=A _{0} \cdot e ^{-\beta t}}\) no i energia : \(\displaystyle{ E=E _{0} \cdot e ^{-2\beta t}}\)

nie mam pojęcia jak podejść do tego zadania i czy mogę użyć np. wzoru \(\displaystyle{ E = \frac{1}{2} \cdot k A^{2}}\) dla ruchu tłumionego?

baaaardzo proszę o pomoc i będę bardzo wdzięczna

karola111 pisze: nie mam pojęcia jak podejść do tego zadania i czy mogę użyć np. wzoru \(\displaystyle{ E = \frac{1}{2} \cdot k A^{2}}\) dla ruchu tłumionego?

Ale przecież już z niego korzystasz pisząc:

wiem tyle, że amplituda zmniejsza się ze wzoru: \(\displaystyle{ A=A _{0} \cdot e ^{-\beta t}}\) no i energia : \(\displaystyle{ E=E _{0} \cdot e ^{-2\beta t}}\)

bo
\(\displaystyle{ E(t)=\frac{1}{2} \cdot k A(t)^{2} =\frac{1}{2} \cdot k (A _{0}e ^{- \beta t} )^{2}=\frac{1}{2} \cdot k A _{0}^2 e ^{-2 \beta t} =E _{0} e ^{-2 \beta t}}\)



Twoje zadanie:

\(\displaystyle{ E(2T)=\frac{1}{4} E _{0} \Rightarrow E _{0} e ^{-2 \beta 2T}=\frac{1}{4} E _{0} \Rightarrow e^{-2 \beta 2T}=\frac{1}{4}\Rightarrow -4 \beta T}=- \ln 4 \Rightarrow \\ \Rightarrow \beta =\frac{\ln \sqrt{2} }{T}}\)
\(\displaystyle{ A(2T)= A _{0} e ^{- \beta 2T}= \frac{1}{2} A _{0}}\)

r- współczynnik oporu ośrodka
\(\displaystyle{ r=2m \beta =2m\frac{\ln \sqrt{2} }{T}=\ln 2 \frac{m}{T}}\)