pokazać że grupa zawiera się we wszystkich p-podgupach
: 14 lut 2015, o 19:33
Mam problem z zadaniem które tydzień temu dostałem na egzaminie, chodzi o to że że jeśli mamy grupę \(\displaystyle{ G}\) oraz jej podgrupę \(\displaystyle{ H}\). Wiemy również że \(\displaystyle{ H}\) jest jedyną podgrupą \(\displaystyle{ G}\) rzędu \(\displaystyle{ 125}\). Mam pokazać że \(\displaystyle{ H}\) zawiera się we wszystkich \(\displaystyle{ 5}\)-podgrupach Sylowa \(\displaystyle{ G}\).
Pierwszy naturalny dla mnie pomysł był pokazać że nie może być \(\displaystyle{ 5}\)-podgrupy Sylowa rzędu większego niż \(\displaystyle{ 125}\) bo wtedy \(\displaystyle{ H}\) nie było by jedyne... wydawało mi się to intuicyjnie jasne, ale nie wiem jak to sformalizować.
No i drugi pomysł: z twierdzenia Sylowa wiemy że wszystkie p-podgrupy są sprzężone, weźmy (samo to już mam wątpliwość delikatną czy mogę) sobie \(\displaystyle{ K}\) - \(\displaystyle{ 5}\) podgrupa Sylowa w której zawiera się \(\displaystyle{ H}\). wtedy dla dowolnej innej \(\displaystyle{ 5}\)-podgrupy Sylowa- \(\displaystyle{ K'}\) mamy takie \(\displaystyle{ x \in G}\) że
\(\displaystyle{ K=xK'x^{-1} \\
H \subseteq xK'x^{-1}}\)
teraz biorę sobie taki \(\displaystyle{ H' \subseteq K'}\) żeby przechodził na \(\displaystyle{ H}\) i mam
\(\displaystyle{ H=xH'x^{-1} \\
Hx=xH'}\)
No i właśnie tu jest problem bo twierdzenie Sylowa mówi że jeżeli mamy jedyną \(\displaystyle{ 5}\) podgrupę Sylowa to jest ona dzielnikiem normalnym Grupy, więc mógłbym powiedzieć że \(\displaystyle{ Hx=xH \Rightarrow H=H'}\) No ale... \(\displaystyle{ 5}\) podgupa to ta podgrupa z piątką w najwyższej potędze... nie wiem czy to działa dla tych podgrup rzędu \(\displaystyle{ p^{n}}\)
Pierwszy naturalny dla mnie pomysł był pokazać że nie może być \(\displaystyle{ 5}\)-podgrupy Sylowa rzędu większego niż \(\displaystyle{ 125}\) bo wtedy \(\displaystyle{ H}\) nie było by jedyne... wydawało mi się to intuicyjnie jasne, ale nie wiem jak to sformalizować.
No i drugi pomysł: z twierdzenia Sylowa wiemy że wszystkie p-podgrupy są sprzężone, weźmy (samo to już mam wątpliwość delikatną czy mogę) sobie \(\displaystyle{ K}\) - \(\displaystyle{ 5}\) podgrupa Sylowa w której zawiera się \(\displaystyle{ H}\). wtedy dla dowolnej innej \(\displaystyle{ 5}\)-podgrupy Sylowa- \(\displaystyle{ K'}\) mamy takie \(\displaystyle{ x \in G}\) że
\(\displaystyle{ K=xK'x^{-1} \\
H \subseteq xK'x^{-1}}\)
teraz biorę sobie taki \(\displaystyle{ H' \subseteq K'}\) żeby przechodził na \(\displaystyle{ H}\) i mam
\(\displaystyle{ H=xH'x^{-1} \\
Hx=xH'}\)
No i właśnie tu jest problem bo twierdzenie Sylowa mówi że jeżeli mamy jedyną \(\displaystyle{ 5}\) podgrupę Sylowa to jest ona dzielnikiem normalnym Grupy, więc mógłbym powiedzieć że \(\displaystyle{ Hx=xH \Rightarrow H=H'}\) No ale... \(\displaystyle{ 5}\) podgupa to ta podgrupa z piątką w najwyższej potędze... nie wiem czy to działa dla tych podgrup rzędu \(\displaystyle{ p^{n}}\)