Matematyka.pl

Witam,

Zadanie: Oblicz wartość i wektory własne macierzy:

A=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}7&6\\-4&-3\end{array}\right]}\)

Czy macierz \(\displaystyle{ A}\) jest diagnozowalna? Jeżeli tak, to podaj postać diagonalną macierzy \(\displaystyle{ A}\).

a) Wartości własne macierzy:
\(\displaystyle{ A \partial =A- \partial I}\) \(\displaystyle{ I}\)-macierz jednostkowa

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}7&6\\-4&-3\end{array}\right] - \partial \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}7&6\\-4&-3\end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc} \partial&0\\0& \partial \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}7- \partial &6\\-4&-3- \partial \end{array}\right]}\)

Liczymy wyznacznik:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}7- \partial &6\\-4&-3- \partial \end{array}\right|=(7- \partial )(-3- \partial )-6 \cdot (-4)=-21-7 \partial +3 \partial + \partial^{2} +24 = \partial^{2} -4 \partial +3}\)

\(\displaystyle{ \Delta=d}\)

\(\displaystyle{ d=16-4 \cdot 3=16-12=4}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{d}=2}\)

\(\displaystyle{ x_1= \frac{4-2}{2} =1 , x_2= \frac{4+2}{2} =3}\)

Odp1. Wartości własne tej macierzy to: \(\displaystyle{ \partial _{1} =1 , \partial _{2} =3}\)

b) Obliczam wektory własne macierzy:

Dla \(\displaystyle{ \partial _{1} = \left[\begin{array}{cc}6 &6\\-4&-4 \end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ A \partial X=0}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}6 &6\\-4&-4 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}x\\y \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0\\0 \end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}6&6&|0\\-4&-4&|0 \end{array}\right]}\) Mnoże razy \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}6&6&|0\\0&0&|0 \end{array}\right]}\) - Tu nie wiem czy dobrze?
\(\displaystyle{ y= \alpha
6x+6 \alpha =0
6x=-6 \alpha
x=- \alpha}\)
Czyli dla \(\displaystyle{ \partial _{1}}\) zbiór wektorów własnych: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}- \alpha \\ \alpha \end{array}\right]}\)

Dla \(\displaystyle{ \partial _{2} = \left[\begin{array}{cc}5 &6\\-4&-5 \end{array}\right]}\)

Tu nie wiem jak to przemnożyć żeby się zgadzało.
Mam też problem z drugą częścią zadania. Jak sprawdzić diagnozowalność?

Z góry dziękuje za pomoc.

Pozdrawiam
Sylwia

Wektory własne muszą tworzyć bazę \(\displaystyle{ \RR^{2}}\)

italiana1991 pisze: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}6 &6\\-4&-4 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}x\\y \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0\\0 \end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}6&6&|0\\-4&-4&|0 \end{array}\right]}\) Mnoże razy \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}6&6&|0\\0&0&|0 \end{array}\right]}\) - Tu nie wiem czy dobrze?
\(\displaystyle{ y= \alpha
6x+6 \alpha =0
6x=-6 \alpha
x=- \alpha}\)
Czyli dla \(\displaystyle{ \partial _{1}}\) zbiór wektorów własnych: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}- \alpha \\ \alpha \end{array}\right]}\)

Dla
Dla \(\displaystyle{ \partial _{2} = \left[\begin{array}{cc}5 &6\\-4&-5 \end{array}\right]}\)

Tu nie wiem jak to przemnożyć żeby się zgadzało.
Mam też problem z drugą częścią zadania. Jak sprawdzić diagnozowalność?

Ty to jakoś dziwnie rozwiązujesz, nie rozumiem tego rozumowania
Z tego:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}6 &6\\-4&-4 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}x\\y \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0\\0 \end{array}\right]}\) masz po prostu \(\displaystyle{ 6x+6y=0}\) Zatem \(\displaystyle{ 6x=-6y}\) Dzielisz obustronnie przez \(\displaystyle{ -6}\). Czyli \(\displaystyle{ y=-x}\) Z tego wynika, że postać wektora własnego, dla wartości własnej \(\displaystyle{ \partial _{1}=1}\) Jest taka:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}x\\-x \end{array}\right]}\) No tu można dobrać dowolnie (oprócz \(\displaystyle{ 0}\) oczywiście)
Czyli np:

\(\displaystyle{ V_{1}=\left[\begin{array}{cc}1\\-1 \end{array}\right]}\)

Dla \(\displaystyle{ \partial_{2}=3}\) masz coś takiego:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}4 &6\\-4&-6 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}x\\y \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0\\0 \end{array}\right]}\)
Czyli wystarczy rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x+6y=0\\-4x-6y=0\end{cases}}\)
Z tego układu widać, że te dwa równania są takie same, czyli np. z pierwszego możemy sobie zrobić, że: \(\displaystyle{ 6y=-4x}\) Czyli \(\displaystyle{ y=- \frac{2}{3}x}\)
To oznacza, że wektor własny odpowiadający tej wartości własnej ma postać:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}x\\-\frac{2}{3}x\end{array}\right]}\)
Dobieramy: \(\displaystyle{ x}\) jaki chcemy, np.:\(\displaystyle{ 1}\) i mamy \(\displaystyle{ V_{2}=\left[\begin{array}{cc}1\\-\frac{2}{3}\end{array}\right]}\)
Co do diagonalizowalności, to jest to tak, że macierz jest diagonalizowalna, jeśli jest podobna do jakiejś macierzy diagonalnej. Ludzkim głosem mówiąc, trzeba sobie policzyć, czy dla wartości własnych jesteś w stanie wyznaczyć tyle wektorów własnych ile wynosi krotność wartości własnej jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego. W twoim przypadku macierz ma dwie wartości własne. Czyli, aby macierz była diagonalizowalna, należy sprawdzić, czy dla każdej z tych wartości własnych macierz ma wektor własny. To właśnie liczyłał i te wektory istniały, czyli odpowiedź brzmi: tak. Macierz jest diagonalizowalna.

Macierz \(\displaystyle{ A}\) przedstawiona musi być w postaci:
\(\displaystyle{ A=PDP^{-1}}\)
Macierz \(\displaystyle{ P}\) to macierz utworzona z wektorów własnych, czyli u Ciebie będzie to: \(\displaystyle{ P=\left[\begin{array}{cc}1 &1\\-1&- \frac{2}{3} \end{array}\right]}\)
Macierz \(\displaystyle{ P^{-1}}\) to macierz odwrotna do macierzy \(\displaystyle{ P}\).
Macierz \(\displaystyle{ D}\) to macierz, która ma na przekątnej wartości własne macierzy\(\displaystyle{ A}\) (w takiej kolejności w jakiej wstawi się tam odpowiadające im wektory własne. Jeżeli w macierzy \(\displaystyle{ P}\) pierwszy wektor pochodzi od wartości własnej \(\displaystyle{ 1}\) to \(\displaystyle{ 1}\) musi być jako pierwsza nad tą przekątną ;p), a wszędzie indziej \(\displaystyle{ 0}\).