Wahadło fizyczne, a opór, niesymetryczny wykres przyspieszen

pasasap · Post autor: **pasasap** » 10 lut 2015, o 23:21

Cześć. Stworzyłem w Matlabie model wahadła fizycznego, na końcu którego zamocowana jest kula i uwzględniłem przy tym opór powietrza. Mógłby mi ktoś wyjaśnić, dlaczego nie ma symetrii na wykresie przyspieszenia?

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 10 lut 2015, o 23:50

Nie wymagaj od nas (użytkowników forum Matematyka.pl), abyśmy nie widząc tego co zrobiłeś wyjaśniali cokolwiek. Jedno jest pewne. Coś zrobiłeś źle.
Wahadło fizyczne z tłumieniem (pewnie jeszcze liniowym, chociaż to tu nie ma znaczenia) jest tak prostym obiektem do zamodelowania, że Twój błąd musi być elementarny.
Wychylenia wahadła następują względem położenia równowagi z malejącą asymptotycznie do $\displaystyle{ 0}$ amplitudą; prędkości i przyspieszenia takoż. Sprawdź model który zaimplementowałeś w swoim Matlabie.

pasasap · Post autor: **pasasap** » 11 lut 2015, o 01:08

To jest model, nie wiem, czy jest poprawnie wykonany, ale coś jest ;'D

Wzór, na jakim się wzorowałem:

$\displaystyle{ $\displaystyle \frac{d^2\theta(t)}{dt^2} +\frac{mgh}{I}\theta(t) + \vec{D} = 0$}$
$\displaystyle{ \; |\vec D| = C_D \frac{\rho \, |\vec v|^2}{2} S_D \;}$
gdzie:

$\displaystyle{ \, \vec D}$, – wektor siły oporu skierowany przeciwnie do wektora prędkości ciała względem płynu;
$\displaystyle{ \, C_D}$, – współczynnik siły oporu
$\displaystyle{ \, S_D}$, – powierzchnia rzutu ciała na płaszczyznę prostopadłą do wektora prędkości ciała względem płynu (upraszczając jest to powierzchnia 'wystawiona' w kierunku przepływu);
$\displaystyle{ \, p_d}$, – ciśnienie dynamiczne;
$\displaystyle{ \, \vec v}$, – wektor prędkości ciała względem płynu;
$\displaystyle{ \, \rho}$, – gęstość płynu.
Z Wikipedii.

Post autor: **kruszewski** » 11 lut 2015, o 01:22

A można zobaczyć ten wykres?

pasasap · Post autor: **pasasap** » 11 lut 2015, o 01:56

Parametry początkowe:
$\displaystyle{ l0 = 1;
la = 0.1;
s0 = 0.7;
v0 = 0.5;}$
l0 - początkowa długość wahadła
la - współczynnik rozciągliwości wahadła.
s0 - początkowe wychylenie
v0 - początkowa prędkość kątowa
$\displaystyle{ l=l0+ la \cdot \frac{ \mbox{d}\alpha}{ \mbox{d}t}}$

: AU; zRCF5r4.png (10.87 KiB) Przejrzano 452 razy

Dla tych parametrów jest trochę taki 'przechylony' w prawą stronę. Czy jest w ogóle możliwe, że takie coś zachodzi? Jeśli tak, to czym jest to spowodowane?

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 11 lut 2015, o 01:59

Widzę jeden błąd, ale chyba nie ma on wpływu na ww. brak symetrii wykresu przyspieszenia.
Brak $\displaystyle{ I}$ w mianowniku drugiego wzoru. Powinno być:

$\displaystyle{ \left|\vec D\right| = C_D \frac{\rho|\vec v|^2}{2I}S_D}$

Czy $\displaystyle{ \alpha}$ we wzorze na $\displaystyle{ l}$ co to samo co $\displaystyle{ \theta}$ w równaniu ruchu?
Po analizie schematu MathLaba wiem, że TAK.

Nie widzę, aby siła oporu była przeciwnie skierowana do prędkości.

Jakie są wartości stałych: $\displaystyle{ I}$ , $\displaystyle{ m}$ , $\displaystyle{ g}$ , $\displaystyle{ C_D}$ , $\displaystyle{ S_D}$ , $\displaystyle{ \varrho}$ ?

pasasap · Post autor: **pasasap** » 11 lut 2015, o 12:07

Kod skryptu:

Kod: Zaznacz cały

g = 9.80665;%Przyspieszenie ziemskie

%Założenie, że na końcu wahadła zamontowana jest kula o podanej masie i
%promieniu
m = 0.3;%Masa kuli
R = 1;%Promień kuli
I = 2 / 5 * m * R * R;%Moment bezwładności kuli

Sd = pi * R * R;%Powierzchnia rzutu ciała na płaszczyznę
Cd = 0.47;%Współczynnik siły oporu powietrza
ro = 1.2;%Ciśnienie powietrza dla temp. ok. 19 stopni Celsjusza.

l0 = 1;%Początkowa długość wahadła
la = 0.1;%Współczynnik rozciągania wahadła
s0 = 0.7;%Początkowe wychylenie
v0 = 0.5;%Początkowa prędkość kątowa
t = 10;%Czas symulacji

simOut = sim('projekt.slx', t);%Przeprowadzenie symulacji

figure(4);
%Wszystkie wykresy w jednym oknie
plot(simOut, katWychylenia, 'r', simOut, predkoscKatowa, 'g', simOut, przyspieszenieKatowe, 'b');
xlabel('Czas [s]');
title('Zależność kąta wychylenia, prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego od czasu.');
legend('kąt wychylenia [rad]', 'prędkość kątowa [rad/s]', 'przyspieszenie kątowe [rad/s^2]');
grid('on');%Włączenie siatki

$\displaystyle{ I=0.12, Sd=3.1416}$

Tak właściwie nie chodzi mi o to, czy jest to poprawnie wykonany model, tylko czy jest możliwe, aby tak wyglądał wykres przyspieszenia, a jeśli tak, to dlaczego tak się stało, z czego to wynika.

Post autor: **kruszewski** » 11 lut 2015, o 12:39

Warto sprawdzić zgodność wymiarową pierwszego równania.
W.Kr.

pasasap · Post autor: **pasasap** » 11 lut 2015, o 13:25

Na podstawie artykułu na Wikipedii nie potrafię zrobić tej zgodności wymiarowej. Chyba sobie to odpuszczę. W sumie to chcę się dowiedzieć jeszcze jednego tylko: Czy jest możliwe, aby wykres przyspieszenia był asymetryczny? Pytam się o to od początku ;')

Post autor: **kruszewski** » 11 lut 2015, o 14:04

$\displaystyle{ $\displaystyle \frac{d^2\theta(t)}{dt^2} +\frac{mgh}{I}\theta(t) + \vec{D} = 0$}$

$\displaystyle{ \; |\vec D| = C_D \frac{\rho \, |\vec v|^2}{2} S_D \;}$

Ja można domyślać się pierwszy składnik pierwszego równania jest przyśpieszeniem kątowym i ma wymiar $\displaystyle{ \frac{1}{s^2}}$
trzeci zaś, (jak jest w jego opisie) to siła oporu ruchu, która ma wymiar
$\displaystyle{ 1 \cdot \frac{ kg \cdot m^2 \cdot m^2}{m^3 \cdot s^2}}$, czyli wymiar siły.
Zatem do śliwek dodajemy ślimaki.
W.Kr.

pasasap · Post autor: **pasasap** » 11 lut 2015, o 14:43

Ech, błąd na moją miarę ;')

Jest możliwość, by tą siłę przekształcić na $\displaystyle{ \frac{m}{s ^{2} }}$?

W sumie by trzeba było podzielić przez jakąś masę oraz odległość.

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 11 lut 2015, o 15:01

SlotaWoj pisze:Widzę jeden błąd, ale chyba nie ma on wpływu na ww. brak symetrii wykresu przyspieszenia.
Brak $\displaystyle{ I}$ w mianowniku drugiego wzoru. Powinno być:

$\displaystyle{ \left|\vec D\right| = C_D \frac{\rho|\vec v|^2}{2I}S_D}$

Post autor: **kruszewski** » 11 lut 2015, o 15:02

Pewnie można ale tylko w warunkach bojowych, kiedy sinus kąta bywa większy od jedynki i osiąga wartości bliskie dwójce a lufę karabinu czyści się logarytmem naturalnym żeby nie porysować lufy jak zgubi się wycior, ....
Jak można siłę przekształcić do przyśpieszenia masy nabywanego pod jej działaniem?
W.Kr.

pasasap · Post autor: **pasasap** » 11 lut 2015, o 15:15

Przynajmniej można się pośmiać z własnej głupoty ;')

Dobra, dzięki za odpowiedzi, temat można zamknąć.

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 11 lut 2015, o 20:26

pasasap pisze:Na podstawie artykułu na Wikipedii nie potrafię zrobić tej zgodności wymiarowej. ...

A w czym problem? To koniecznie trzeba umieć robić. Zasada jest prosta: każdy komponent równania musi mieć jednostkę zgodną ze swoją „istotą fizyczną” oraz przy ich dodawaniu musimy zapewnić zgodność jednostek co do istoty i rzędu.

SlotaWoj pisze:Nie widzę, aby siła oporu była przeciwnie skierowana do prędkości.

Temat będzie można zamknąć, gdy zostaną usunięte zauważone błędy w $\displaystyle{ \vec D}$ , oraz zostaną sporządzone nowe wykresy,
Wskazane jest przeprowadzenie modelowania przy różnych warunkach początkowych – czasami pozwala to na identyfikacje błędów w modelu.

Nb. jakiej rzeczywistości fizycznej ma odpowiadać rozciągliwość wahadła. Jeżeli to następuje pod wpływem siły odśrodkowej, to należy uwzględnić tego dynamiczne aspekty i wtedy takie wahadło będzie wykonywało drgania złożone.