Matematyka.pl

Wstyd, wiem. Potrafię udowodnić przemienność, wskazać szeregi neutralne i odwrotne, ale wykazać łączności już nie...

Aha, dobrze byłoby, żeby ten dowód nie opierał się np. na tym, że to jest splot, albo co. Najchętniej czysto algebraicznie - udowodnić, że \(\displaystyle{ \forall_{n\ge n_0}\sum^n_{k=n_0}\sum^k_{l=n_0}a_lb_{k-l}c_{n-k}=\sum^n_{n=n_0}\sum^k_{l=n_0}a_{n-k}b_lc_{k-l}}\) (jeśli się nie pomyliłem...)

Przepraszam za ten banał i z góry dziękuję, gdyby ktoś mi to wypisał.

Skąd to \(\displaystyle{ n_0}\) ? Chyba ma być po prostu:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n \sum_{l=0}^k a_l b_{k-l} c_{n-k} = \sum_{k=0}^n \sum_{l=0}^k a_{n-k} b_l c_{k-l}.}\)

Najprościej mówiąc: jest to prawda, bo zbiór

\(\displaystyle{ \{ a_i b_j c_k : i, j, k \in \NN \wedge i+j+k = n \}}\)

jest skończony, a obie strony równości są równe sumie wszystkich liczb tego zbioru. Niestety to uzasadnienie jest bardzo trudne w ścisłej formalizacji.