Tw. Rouche'ego - liczba pierwiastków

[Tomas_91]

Zbadać liczbę pierwiastków. Niech :
\(\displaystyle{ f(z)= 5 \cdot z ^{5} +5 \cdot z ^{4}+3}\)
dla koła jednostkowego.
Mam dylemat, bo nie wiem, jak dobrać funkcje do twierdzenia Rouch'ego.

Jeśli:
\(\displaystyle{ h(z)=5 \cdot z ^{5} +3}\)
\(\displaystyle{ g(z)= 5 \cdot z ^{4}}\)
To funkcja \(\displaystyle{ f(z)}\) ma 5 zer.

Jeśli:
\(\displaystyle{ h(z)=5 \cdot z ^{4} +3}\)
\(\displaystyle{ g(z)= 5 \cdot z ^{5}}\)
To funkcja \(\displaystyle{ f(z)}\) ma 4 zer.

Które rozw. jest poprawne i dlaczego?

[wkda]

Mógłby ktoś wyjaśnić?

[musialmi]

A jak dowodzisz tych nierówności pomiędzy modułami? Nie widzę ani jeden, ani drugiej.

[wkda]

Rozumiem, że wskazane funkcje nie spełniają nierówności z tw Rouche. Ale jak w takim razie nalezy dobrać tutaj te funkcje?

[musialmi]

"To, że pan nie umie pokazać, to nie znaczy, że się nie da". Ja nie wiem jak te nierówności pokazać, może zachodzą, w tym momencie jest za późno dla mnie, żebym coś wymyślił. Jak należy dobrać funkcje - nie mam pojęcia

[Biala-Flaga]

Musisz sprawdzić, która z funkcji spełnia założenia twierdzenia Rouché
Sprawdź, kiedy zachodzi nierówność: \(\displaystyle{ |h(z)| \ge |g(z)|}\)
W tym przypadku, na kole jednostkowym, funkcje \(\displaystyle{ h(z)=5 \cdot z ^{4} +3, \quad g(z)= 5 \cdot z ^{5}}\) spełniają nierówność \(\displaystyle{ |h(z)| \ge |g(z)|}\)
W związku z powyższym funkcja\(\displaystyle{ f(z)= 5 \cdot z ^{5} +5 \cdot z ^{4}+3}\) ma 4 pierwiastki.

[Dasio11]

W tym przypadku, na kole jednostkowym, funkcje \(\displaystyle{ h(z)=5 \cdot z ^{4} +3, \quad g(z)= 5 \cdot z ^{5}}\) spełniają nierówność \(\displaystyle{ |h(z)| \ge |g(z)|}\)

Nieprawda. Dla

\(\displaystyle{ z = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}}\)

jest \(\displaystyle{ |z| = 1}\) oraz

\(\displaystyle{ |h(z)| = | 5 z^4 + 3 | = | {-}5 + 3 | = 2 \\[1ex]
|g(z)| = | 5 z^5 | = 5}\)

czyli \(\displaystyle{ |h(z)| < |g(z)|.}\)

[musialmi]

\(\displaystyle{ |h(z)| = | 5 z^4 + 3 | = | {-}5 + 3 |}\)

Jak to zrobiłeś?

[Dasio11]

No \(\displaystyle{ z^4 = -1.}\)

[musialmi]

Nie rozumiem

[Dasio11]

Wziąłem

\(\displaystyle{ z = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}.}\)

Wtedy na mocy wzoru de Moivre'a

\(\displaystyle{ z^4 = \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)^4 = \cos \pi + i \sin \pi = -1,}\)

więc

\(\displaystyle{ 5z^4 + 3 = 5 \cdot (-1) + 3 = -2,}\)

czyli

\(\displaystyle{ |5z^4 + 3| = |-2| = 2.}\)

[musialmi]

No to dla jednej liczby się spełnia. Ja znam takie ruszę twierdzenie: jeśli dwie funkcje \(\displaystyle{ f,g}\) są holomorficzne wewnątrz i na konturze \(\displaystyle{ C}\) oraz spełniają na \(\displaystyle{ C}\) nierówność \(\displaystyle{ |g(z)|<|f(z)|}\), to \(\displaystyle{ f+g}\) ma wewnątrz \(\displaystyle{ C}\) tę samą ilość zer, co \(\displaystyle{ f(z)}\).

Nie ma nic o kwantyfikatorze przy nierówności, więc rozumiem, że nierówność ma być spełniona dla wszystkich \(\displaystyle{ z}\) z konturu. To jak to jest?

[Dasio11]

Biala-Flaga stwierdził, że na okręgu \(\displaystyle{ |z| = 1}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ |h(z)| \ge |g(z)|,}\) a ja napisałem, że to nieprawda. W tym celu wskazałem jakieś \(\displaystyle{ z}\) dla którego nierówność nie zachodzi.