Matematyka.pl

Szukałem informacji o tym w internecie, zarówno po polsku, jak i po angielsku, ale nic nie znalazłem na ten temat. Wiem, iż funkcje charakterystyczne mogą przyjmować wartości ujemne, np. jednostajny rozkład dwupunktowy dla zmiennej losowej przyjmującej za wartości \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\) posiada funkcję charakterystyczną daną wzorem \(\displaystyle{ \phi(t) = \cos(t)}\).
W podobny sposób można by wziąć odpowiedni rozkład \(\displaystyle{ 2n}\) punktowy i otrzymać kombinację cosinusów.

Ale co poza tym? Jakie funkcje charakterystyczne, poza cosinusem, mogą być ujemne? Wiem, iż dowolna kombinacja wypukła funkcji charakterystycznych jest funkcją charakterystyczną, więc można by tego cosinusa (z pewnym dodatnim współczynnikiem) do czegokolwiek dodać i otrzymać funkcję charakterystyczną, przyjmującą w pewnym punkcie wartość ujemną, ale czy są może jakieś ogólniejsze twierdzenia? Przeglądając różne przykłady funkcji charakterystycznych nie mogę znaleźć nic poza funkcjami: \(\displaystyle{ \phi(t) = \frac{\sin(t)}{t}}\) , \(\displaystyle{ \phi(t) = \cos(t)}\) (czyli symetryczne rozkłady jednostajny na odcinku i odpowiednio skonstruowany dyskretny).

Czy może istnieć rozkład ciągły na całej prostej, którego funkcja charakterystyczna przyjmuje w pewnym punkcie (z jednostajnej ciągłości to nawet "w wielu" punktach) wartość ujemną?
Czy wiemy co dokładnie dzieje się, kiedy funkcja charakterystyczna jest nieujemna?
Są pewne twierdzenia, np. kryterium Pólya, w którym jednym z kryteriów (wystarczającym?) jest nieujemność funkcji, ale jest to implikacja, nie równoważność.

Piszę, gdyż nie byłem w stanie nic sensownego znaleźć, tudzież uzyskać dostępu do żadnych książek o funkcjach charakterystycznych, a brak twierdzeń bądź przykładów z tym związanych w informacjach, które byłem w stanie znaleźć, nieco mnie niepokoją.

Pozdrawiam

Wystarczy, że do zmiennej o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ [-1,1]}\) dodasz niezależną zmienną o rozkładzie normalnym, to będziesz miał rozkład na całej prostej z ujemną funkcją charakterystyczną.

Pamiętaj, że funkcja charakterystyczna jest funkcją zespoloną. To, że gdzieś jest ujemna tak naprawdę niewiele znaczy.

Tak też można, ale w sumie wychodzi na to samo: mamy rozkład dyskretny, mieszany bądź ciągły przedziałami. Ale czy możemy mieć rozkład ciągły na całej prostej, którego funkcja charakterystyczna (rzeczywista) przyjmuje wartości ujemne?

Z pewnością nie będzie to rozkład nieskończenie podzielny (f. char. się nie zeruje), a pytając kogoś o radę usłyszałem, iż jeśli taki istnieje, a być może istnieje, to nie może powstawać poprzez symetryzację.

Ma ktoś może jakieś pomysły?

Nie istnieje, bo funkcja charakterystyczna w zerze jest równa jeden. Podstawowa własność się kłania A ponieważ jest absolutnie ciągła, to zawsze istnieje przedział, na którym nie jest ujemna.

A przytoczony przeze mnie przykład jest absolutnie ciągły.