Spójność i zbiory rograniczone
: 9 lut 2015, o 20:02
Cześć!
Walczę ze spójnością i zbiorami rozgraniczonymi.
Zauważyłem, że różnie definiuje się te pojęcia więc:
Przestrzeń topologiczną \(\displaystyle{ \left( X, \mathcal{O}\right)}\) nazywamy spójną, jeśli nie da się jej rozłożyć na sumę dwóch, niepustych i rozłącznych zbiorów otwartych.
Zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) nazywamy rozgraniczonymi, o ile \(\displaystyle{ \overline{A} \cap B= \emptyset}\) i \(\displaystyle{ A \cap \overline{B}= \emptyset}\).
Twierdzenie, z którym mam problem:
Wykaż, ze przestrzeń topologiczna \(\displaystyle{ X}\) jest spójna \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) nie jest sumą dwóch, niepustych zbiorów rozgraniczonych.
Dowód:
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią spójną. Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ X}\) jest sumą niepustych zbiorów rozgraniczonych \(\displaystyle{ A,B}\). Wówczas z równości \(\displaystyle{ \overline{A} \cap B= \emptyset}\) wynika, że \(\displaystyle{ X= \overline{A} \cup B}\). Wówczas \(\displaystyle{ B= X \setminus \overline{A}}\) i \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem otwartym. Można również zapisać \(\displaystyle{ X=A \cup \overline{B}}\) i wywnioskować analogicznie, że \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem otwartym. Zatem \(\displaystyle{ X= A \cup B}\), gdzie zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są otwarte, niepuste i rozłączne, co stoi ze sprzecznością spójności przestrzeni \(\displaystyle{ X}\).
Wszystko rozumiem, poza jednym krokiem. Dlaczego z tego, że \(\displaystyle{ \overline{A} \cap B= \emptyset}\) wynika, że \(\displaystyle{ X=\overline{A} \cup B}\) ?
Z góry dzięki!
Walczę ze spójnością i zbiorami rozgraniczonymi.
Zauważyłem, że różnie definiuje się te pojęcia więc:
Przestrzeń topologiczną \(\displaystyle{ \left( X, \mathcal{O}\right)}\) nazywamy spójną, jeśli nie da się jej rozłożyć na sumę dwóch, niepustych i rozłącznych zbiorów otwartych.
Zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) nazywamy rozgraniczonymi, o ile \(\displaystyle{ \overline{A} \cap B= \emptyset}\) i \(\displaystyle{ A \cap \overline{B}= \emptyset}\).
Twierdzenie, z którym mam problem:
Wykaż, ze przestrzeń topologiczna \(\displaystyle{ X}\) jest spójna \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) nie jest sumą dwóch, niepustych zbiorów rozgraniczonych.
Dowód:
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią spójną. Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ X}\) jest sumą niepustych zbiorów rozgraniczonych \(\displaystyle{ A,B}\). Wówczas z równości \(\displaystyle{ \overline{A} \cap B= \emptyset}\) wynika, że \(\displaystyle{ X= \overline{A} \cup B}\). Wówczas \(\displaystyle{ B= X \setminus \overline{A}}\) i \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem otwartym. Można również zapisać \(\displaystyle{ X=A \cup \overline{B}}\) i wywnioskować analogicznie, że \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem otwartym. Zatem \(\displaystyle{ X= A \cup B}\), gdzie zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są otwarte, niepuste i rozłączne, co stoi ze sprzecznością spójności przestrzeni \(\displaystyle{ X}\).
Wszystko rozumiem, poza jednym krokiem. Dlaczego z tego, że \(\displaystyle{ \overline{A} \cap B= \emptyset}\) wynika, że \(\displaystyle{ X=\overline{A} \cup B}\) ?
Z góry dzięki!