Matematyka.pl

Witam, mam następujące zadanie - dla \(\displaystyle{ u_{t}-u_{xx}=0}\) kolega wyjaśnił mi jak to rozwiązać, natomiast w tym przypadku nie mam zielonego pojęcia jak to ugryźć. Mógłby mi ktoś krok po kroku wyjaśnić jak to pokonać?

Metodą Fouriera rozwiązać zagadnienie:
\(\displaystyle{ \begin{cases}u_{t}-u_{xx}=2\quad ,x\in (0,2\pi), t>0\\ u(t,0)=0\quad ,u(t,\pi)=0\\ u(0,x)=2\sin(2x)+5\sin(5x)+\pi x-x^{2}\end{cases}}\)

Zacznij od znalezienia rozwiązań zmiennych rozdzielonych \(\displaystyle{ T(t) \cdot S(x)}\). Sprowadzi się to do zagadnienia wartości własnej odpowiednich operatorów różniczkowych zwyczajnych na dziedzinach z warunkami brzegowymi.

Przepraszam, że podbijam po tak długim czasie, ale problem nadal pozostał nie rozwiązany, gdyż zwyczajnie nie pojawił się na zeszłym egzaminie, a jednak chciałbym się dowiedzieć jak to zrobić.

Wiem mniej więcej jak rozwiązać to zadanie wg. reguły Duhamela, natomiast nie mogę się nią posłużyć, gdyż nie było jej na zajęciach.

Odpowiadając na odpowiedź wyżej: co to znaczy znajdź rozwiązania zmiennych rozdzielonych? Mam potraktować to równanie jak jednorodne, pomijając te 2? W następnym zdaniu jest zbyt wiele mądrych słów zlepionych ze sobą, nie rozumiem tego za bardzo.

EDIT
Wiem co to znaczy rozdzielenie zmiennych metodą Fouriera, tylko chodzi mi o interpretację tego konkretnego zdania.-- 28 sie 2015, o 14:39 --Zapraszam do lektury https://www.matematyka.pl/393219.htm#p5366086 jako odpowiedź na zadane pytanie