Matematyka.pl

Witam, bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu dwóch zadań.


1) Znaleźć objętość bryły ograniczonej przez płaszczyznę \(\displaystyle{ (x^2+y^2+z^2)^2=z^3}\)

wydaje mi się, że \(\displaystyle{ 0 \le z \le 1}\), czy trzeba tu przejść na współrzędne sferyczne? Tylko jak wtedy zmieniałby się \(\displaystyle{ r}\)?

2) Obliczyć masę przewodu, w kształcie wykresu funkcji \(\displaystyle{ y=sin(x)}\), między punktami \(\displaystyle{ (0,0)}\) a \(\displaystyle{ ( \pi /2,1)}\), jeśli gęstość masy w punkcie \(\displaystyle{ (x,y)=sin(2x)}\).

Czy wystarczy przedstawić krzywą w postaci parametrycznej a następnie policzyć całkę krzywoliniową nieskierowaną po \(\displaystyle{ sin(2x)}\)?

Z góry dziękuję za wszelkie wskazówki.

\(\displaystyle{ r^{4} = \left(r\sin\Theta\right)^3 \Rightarrow r = \sin^{3}\Theta}\)

Długość łuku pewnie umiesz policzyć. Niech \(\displaystyle{ f(x) = \sin x}\). Wtedy długość przewodu była by taka: \(\displaystyle{ L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1+[f'(x)]^{2}}}{dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1+\cos^{2}x}}{dx}}\)

Natomiast do masy trzeba jeszcze uwzględnić tę gęstość liniową. Zauważ że nie zależy ona od \(\displaystyle{ y}\) więc równie dobrze można napisać \(\displaystyle{ \rho(x) = \sin 2x}\)

No i wtedy ta masa będzie \(\displaystyle{ M = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin 2x\right){\sqrt{1+\cos^{2}x}}{dx}}\)