Ruch złożony - postępowy i obrotowy

[MuKuL]

Zadanie:

Na dwóch równoległych poziomych deskach położono symetrycznie walec o masie 1 kg. Na środek walca nawinięto cienką nieważką linkę, na koniec której działa siła F równa jednej czwartej ciężaru walca, wskutek czego toczy się on po deskach ruchem jednostajnie przyśpieszonym. Zakładamy, że nie ma poślizgu.
b) Oblicz wartość przyśpieszenia osi walca dwoma sposobami:
- traktując toczenie się walca jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego względem osi symetrii,

...

AU

kgsRV5b.png (29.02 KiB) Przejrzano 2565 razy

\(\displaystyle{ m = 1 kg}\)
\(\displaystyle{ F = 2,5 N}\) (zakładając, że \(\displaystyle{ g = 10\frac{m}{s^{2}}}\) ...)

\(\displaystyle{ M_{w}}\) - wypadkowa momentu siły: \(\displaystyle{ M_{w} = I \cdot e}\)
\(\displaystyle{ M_{w} = \left( M_{F} - M_{T}\right)}\) ; \(\displaystyle{ I = \frac{1}{2}mR^{2}}\) ; \(\displaystyle{ e = \frac{a}{R}}\) (ponieważ walec się nie ślizga);
\(\displaystyle{ FR - F_{T}R = \frac{1}{2}mR^{2}\frac{a}{R}}\)
\(\displaystyle{ F - F_{T} = \frac{1}{2}ma}\)

Wydaje mi się, że ta część dotycząca ruchu obrotowego jest w porządku, jednak nie mogę ruszyć siłą tarcia \(\displaystyle{ F_{T}}\). Normalnie we wcześniejszych zadaniach, gdzie np. walec staczał się z równi (lub na nią się "wtaczał") miałem dwa równania. Jedno właśnie na ruch obrotowy, a drugie na postępowy i z tego układu równań wychodziłem. Tutaj jednak nie mogę sobie poradzić z ruchem postępowym, a dokładniej z "wymyśleniem" równania na nie. A może po prostu wszystko robię źle :>

Z góry dzięki za pomoc!

[kruszewski]

W tym ruchu siła tarcia nie "wykonuje" pracy. Walec i podłoże, owe prowadnice, są nieodkształcalne. Ruch idealnego walca odbywa się po idealnym podłożu.
Energia walca jaką nabywa w tym ruchu jest sumą energii jego masy w ruchu postępowym z prędkością postępową \(\displaystyle{ v}\) środka jego masy i energii w ruchu obrotowym z prędkością kątową \(\displaystyle{ \omega}\) z jaka obraca się on względem swojej osi obrotu. Jeżeli zauważyć proste zależności obu tych prędkości to można wyrazić jedną z nich przez drugą. Nabywana energia kinetyczna ( bo potencjalna nie ulega zmianie bowiem toczenie jest po poziomych prowadnicach) równa jest pracy siły \(\displaystyle{ F}\) na drodze \(\displaystyle{ \Delta H}\), a ta jest w prostym związku z drogą kątową obracającego się walca.
Ma tu, w tym zadaniu, zastosowanie tw. Koeniga o energii w ruchu obrotowym i postępowym.
W.Kr.

[siwymech]

Propozycja rozw.
Ruch płaski bryły sztywnej.
Ułożenie poprawnie dynamicznych równań ruchu, dla walca i opadającego ciężaru F powinno dać rozw.
/ Wprowadzamy układ odniesienia x,y dla ruchu. Opieram się na zapisie symb. stosowanym w literaturze mechaniki /

1.Walec. Ruch płaski rozkladamy na ruch obrotowy i postępowy środka masy walca tj.p.O);
(1) \(\displaystyle{ m \cdot \ddot{x} _{o}=\Sigma F _{x}}\),
(2) \(\displaystyle{ m \cdot \ddot{y} _{o}=\Sigma F _{y}}\),
(3)\(\displaystyle{ J \cdot \ddot{\phi} _{o}=\Sigma M _{o}}\)
...................................
Gdzie;
\(\displaystyle{ \ddot{x}, \ddot{y}}\) \(\displaystyle{ }\) -składowe przyśpieszenia środka masy walca p.O.
\(\displaystyle{ \ddot{\phi}}\) \(\displaystyle{ }\) - przyśpieszenie kątowe ciała wzgl osi "z" przechodzącej przez p.O i prostopadłej do płaszczyzny rysunku.
\(\displaystyle{ M_{o}}\) \(\displaystyle{ }\)- moment wszystkich sił wzgl.(osi z) bieguna O.
......................
(1) \(\displaystyle{ m\ddot{x}=-T}\),
(2) \(\displaystyle{ m\ddot{y}=-mg+N -S=0}\),
bo \(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ \ddot{y}=0}\),
(3) \(\displaystyle{ J\ddot{\phi}= T \cdot R+S \cdot R -N \cdot f=0}\)
Ponadto mamy znany związek między przyśpieszeniami;
(4) \(\displaystyle{ \ddot{x}=\ddot{\phi} \cdot R}\)
...................................................
Szukamy z równań (składowej) przepisu na przyśpieszenia środka masy walca;
\(\displaystyle{ \color{\red}\ddot x=a _{x}=a}\)
------------------------------------------------
Związek między prędkościa liniową, a kątową;
\(\displaystyle{ \dot{x}=\dot\phi \cdot R \vee v _{x} =\omega \cdot R}\)
Związek między przyśpieszeniem liniowym, a kątowym;
\(\displaystyle{ \ddot{x}=\ddot\phi \cdot R \vee a _{x} =\epsilon \cdot R}\)
........................................

I jeszcze coś z powinowactwa;
381927.htm

[MuKuL]

siwymech twoja podpowiedź pomogła mi najbardziej, aczkolwiek zawiera ona jeden błąd (albo to twórcy zbioru zadań się mylą...). Mianowicie wg. ciebie:
\(\displaystyle{ m\ddot{x}=-T}\), zamienię to na swój zapis:
\(\displaystyle{ ma_{x}=-F_{T}}\), czyli \(\displaystyle{ ma=-F_{T}}\)

Natomiast według autorów zbioru zadań ZamKoru:
\(\displaystyle{ ma=F_{T}}\)
To tak naprawdę był podpunkt a) tego zadania - wyznaczyć zwrot siły tarcia. Autorzy w odpowiedziach uzasadniają to tak:
Siła tarcia jest zwrócona w prawo, gdyż jest to jedyna siła, która nadaje walcowi przyśpieszenie w ruchu postępowym.
Możesz się do tego jakoś odnieść? Ja osobiście wciąż mam problemy z wyznaczaniem zwrotu siły tarcia w zadaniach z ruchem obrotowym.

[kruszewski]

Siła tarcia między krążkiem a podłożem ma zwrot w kierunku ruchu postępowego krążka, a to dla tego, że przeciwstawia się poślizgowi krążka, jego ślizganiu się po podłożu pod wpływem działania momentu siły przyłożonej do jego obwodu.
Wyobraźmy sobie układ siła w nici nawiniętej na krążek i działającej prostopadle do podłoża zredukowany do momentu pary sił z biegunem w osi krążka i siły w nici tam przyłożonej i działającej prostopadle ( nie zmieniamy jej kierunku) do podłoża. Możemy wyobrazić sobie że moment pary sił stara się obrócić krążek względem jego osi obrotu z poślizgiem po podłożu, tu ze zwrotem zgodniezegarowym. Temu ruchowi przeciwstawia się siła przyłożona do obwodu krążka skierowana tak, by ruch ten uniemożliwić. Zatem "pokręcająca" krążkiem w kierunku przeciwnym równoważąc moment pary sił, zatem przeciwzegarowo, zatem jej zwrot jest w prawo, czyli zgodny z kierunkiem ruchu postępowego krążka. Z sumy rzutów na oś równoległą do podłoża wynika równość siły tarcia z siłą wywołującą ruch postępowy.
Zatem zwrot siły tarcia na rysunku Pana "siwymech powinien być przeciwny do tam narysowanej.
W.Kr.

[siwymech]

AU

31223948070362592281.jpg (5.52 KiB) Przejrzano 2565 razy

Dziękuję, za miłe słowo...
Ad vocem;
W przypadku tarcia bez poślizgu reakcja normalna N ma taką samą wartość jak przy toczeniu z poślizgiem, natomiast siła tarcia (T) jest nieznana, stąd stosowane w literaturze oznaczenia Ft. Moim zdaniem chodzi o odróżnienie siły tarcia slizgowego T całkowicie rozwiniętego- tarcia z poślizgiem \(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ T=\mu \cdot N}\), od siły tarcia bez poślizgu, gdzie wartość siły tarcia tocznego (Ft) musi być mniejsza od siły tarcia T ślizgowego całk,rozw.
/Kolizja oznaczeń, stąd to oznacz.Ft/
Zagadnienie zwrotu sił starałem się wyjaśnić w poście: 381927.htm.
Doprowadzam do układu sił, które tworzą tu dwie pary sił. Przyłożenie pary sił (F,T) do ciała- walca powodują jego obrót w prawo(moment M).
Druga para sił (N, mg) usiłuje dokonać obrotu walca w lewo.
....................................
Problematyka :
J. Leyko. Mechanika ogólna T.II.- Wyd. PWN
.....................
P.S.
Przepraszam, ale nie jestem dobrym recenzentem swoich rozw.
Zamiast pisać, wolę zmierzyć się z rysunkiem, opisaniem zjawiska stosownymi formułami, przybliżyć metody rozw.
Niestety, nie zawsze mi sie to udaje zrobić poprawnie - wiek i ułomności, tylko w niewielkiej części mnie usprawiedliwiają.
.................
Powodzenia edukacyjnego życzę .