Matematyka.pl

Liczba jajeczek składanych przez pewnego owada jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda > 0}\), zaś każdy potomek, wylęga się z jajeczka z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\), niezależnie od innych (pozostałe osobniki giną). Znaleźć wartość oczekiwaną zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) określającej liczbę potomków owada korzystając z faktu, iż \(\displaystyle{ \EE (\EE (X|F)) = \EE X}\)

\(\displaystyle{ \PP(X_1=n)=\frac{\lambda ^n e^{- \lambda}}{n!}}\) Prawdopodobieństwo, że owad złoży \(\displaystyle{ n}\) -jaj
\(\displaystyle{ \PP(X_2=k) = {n \choose k} p^k(1-p)^{n-k}}\) Prawdopodobieństwo, że z n jajeczek wylęgnie się k owadów

Mamy policzyć średnią liczbę potomków.
\(\displaystyle{ \EE X}\)

Ta średnia liczba potomków zależy od ilości złożonych jaj i wylęgniętych owadów. Zmienna \(\displaystyle{ X_2}\) zależy od \(\displaystyle{ X_1}\).


Co dalej?

Trzeba zauważyć, że rozkład ilości potomków pod warunkiem, że znamy ilość jajeczek \(\displaystyle{ (X| X_1)}\) jest znany (Rozkład Bernoulliego \(\displaystyle{ \BB (n,p)}\)), więc \(\displaystyle{ \EE(X|X_1)=np}\)

\(\displaystyle{ \EE X=\EE \EE (X| X_1)=\EE np = p \EE n = \lambda p}\)