Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{n+1}{n-1} \right) ^{n(n+1)}}\)

Pomoże ktoś? Naprowadzi?

Sprawdź warunek konieczny zbieżności szeregu.

Właśnie w tym problem, że nie potrafię tego zrobić. Wyszło mi \(\displaystyle{ e^{2n}}\) Możliwe to?

Liczymy granice wyrazu
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^{n(n+1)}=
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n-1+2}{n-1}\right)^{n(n+1)}=
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n-1}\right)^{n(n+1)}=}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{n-1}{2}}\right)^{n(n+1)}=
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{n-1}{2}}\right)^{\frac{n-1}{2}\cdot\frac{2}{n-1}\cdot n(n+1)}=}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{\frac{n-1}{2}}\right)^{\frac{n-1}{2}\right]^{\frac{2}{n-1}\cdot n(n+1)}}=\lim_{n\to\infty} e^{\frac{2n(n+1)}{n-1}}}=
\lim_{n\to\infty}\left(e^{\frac{n+1}{n-1}}\right)^{2n}=
\lim_{n\to\infty} e^{2n}=\infty}\)
no i problem zbieżności znika.
Rozpisałem to tak krok po kroku, żeby wszystko było jasne.

Dziękuję )