Matematyka.pl

Dla dowolnych \(\displaystyle{ k \in Z}\) i \(\displaystyle{ n \in N (n > 0)}\) przez \(\displaystyle{ (k)_{n}}\) oznaczamy resztę z dzielenia \(\displaystyle{ k}\) przez \(\displaystyle{ n}\). W zbiorze \(\displaystyle{ Z_{n}=\left\{ 0,1,2,...,n-1\right\}}\) określamy działanie
\(\displaystyle{ x \oplus y = (x + y) _{n}}\)
Wykazać że \(\displaystyle{ (Z_{n},\oplus)}\) jest grupą

1. Łączność
\(\displaystyle{ (a\oplus b)\oplus c = a \oplus (b \oplus c)}\)
\(\displaystyle{ ((a+b)_{n}+c)_{n}=(a+(b+c)_{n})_{n}}\)

Jak to udowodnić?

2.element neutralny: \(\displaystyle{ e = 0}\)

3. element odwrotny
\(\displaystyle{ a \oplus a ^{-1} = a^{-1} \oplus a = e}\)
\(\displaystyle{ (a + a^{-1})_{n} = 0}\)
\(\displaystyle{ a^{-1} = -a}\)

dobrze?

\(\displaystyle{ -a}\) nie należy do tego zbioru, więc lepiej napisać \(\displaystyle{ (n-a)_n}\). Co do łączności: pokaż, że obie strony są równe \(\displaystyle{ (a+b+c)_n}\).