Matematyka.pl

Zadanie:
Dla każdego z poniższych zbiorów rozstrzygnij, czy istnieje funkcja ciągła \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \backslash \{0\} \rightarrow \mathBB{R}}\) taka, że zbiór ten jest jej obrazem:
\(\displaystyle{ \text{a)}\left\{1,2\right\}}\)
\(\displaystyle{ \text{b)}\left(-1;0\right)\cup\left(0;1)}\)
\(\displaystyle{ \text{c)}\left(-1;0\right)\cup\left(0;1\right)\cup\left(1;2\right)}\)
\(\displaystyle{ \text{d)}\left[0;1\right]\cup\left[2;3\right]}\)
\(\displaystyle{ \text{e)}\left[0;1\right]}\)

Wg mnie:
a) nie. Funkcja jest ciągła w (punkcie) \(\displaystyle{ a}\) wtw dla dowolnego \(\displaystyle{ \left\{x_{n}\right\} \in \mathbb{R}}\) takiego, że \(\displaystyle{ x_{n} \rightarrow a}\) zachodzi \(\displaystyle{ f\left(x_n\right) \rightarrow f\left(a\right)}\), ale dla \(\displaystyle{ a=0}\) granica lewostronna jest różna od prawej. Nie umiem tego formalnie, umiem nieformalnie w postaci takiej, że "wykresu nie można narysować ołówkiem nie odrywając ręki".
b) tak, np \(\displaystyle{ f\left(x\right) = tgh x = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}\), ale jest to zbyt skomplikowana funkcja i napewno nie mogę z niej skorzystać.
c) tak. EDIT: nie, ponieważ w zbiorze wartości mamy dwie dziury, podczas gdy w dziedzinie jest tylko jedna. Jednak prosiłbym o formalny dowód.
d) nie. Ten sam nieformalny dowód.
e) tak np \(\displaystyle{ f\left(x\right) = \frac{sinx}{2} + \frac{1}{2}}\)

ale nie umiem udowodnić braku istnienia ani stworzyć funkcji spełniających te wymagania. Prosiłbym o pomoc.

Z a,c,d bym się nie zgodził. Na razie nie dam ci rozwiązań dla a,d, pomyśl jeszcze trochę o tym. Jak sobie wyobrażasz wykres funkcji z c (bo może się mylę)?

a) Na przykład funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 1 &\text{dla} \ x<0 \\ 2 &\text{dla} \ x>0\end{cases}}\)
Jest ciągła np. z definicji Heinego. Punkt 0 nie należy do dziedziny więc nie psuje ciągłości.
b) Istnieje, na przykład \(\displaystyle{ f(x)=\frac{2}{\pi}\arctan{x} \ &\text{dla} \ x\neq 0}\). Obraz funkcji ciągłej na każdym przedziale będzie przedziałem. Tutaj mamy 2 przedziały więc nie ma problemu.
c) Nie istnieje, argument jak wyżej - jeśli by istniała to jedna półprosta przejdzie na jeden przedział, a druga półprosta na pozostałe 2. Lecz wtedy mamy sprzeczność z twierdzeniem o przyjmowaniu wartości pośrednich na tej drugiej półprostej.
d) Tak, np. \(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} |\sin{x}| &\text{dla} \ x<0 \\ |\sin{x}|+2 &\text{dla} \ x>0\end{cases}}\)
e) Tak, np. \(\displaystyle{ f(x)=|\sin{x}| \ &\text{dla} \ x\neq 0}\)