Matematyka.pl

Witam, ma ktos pomysl na to zadanko? Potrzebuje na rano, klasowke mam...

W trójkąt równoramienny o podstawie a=12cm i wysokosci h=12cm, wpisano prostokat, jakie powinny byc wymiary prostokata aby jego pole bylo najwieksze.

Z gory dzieki
Pozdrawiam

Zadanie jest dziurawe. Zakładam, że chodziło o "W trójkąt równoramienny..."

Polecam to wszystko sobie po kolei rysować, żeby łatwiej zrozumieć...

Wpiszmy sobie dowolny prostokąt w trójkąt równoramienny, a jego boki oznaczmy b (bok zawierający się w podstawie trójkąta) i c (bok równoległy do wysokości trójkąta). Następnie zauważmy, że wysokość trójkąta jest osią symetrii, zarówno trójkąta jak i prostokąta, więc możemy rozpatrzyć tylko połowę naszej figury, gdyż druga będzie zachowywała się identycznie. Mamy więc trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 12 i 6 oraz wpisany w niego prostokąt o bokach c i \(\displaystyle{ \frac{b}{2}}\).
Z podobieństwa małych trójkątów możemy zauważyć, że:
\(\displaystyle{ \frac{12 - c}{\frac{b}{2}} = \frac{c}{6 - \frac{b}{2}}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \frac{6 - \frac{b}{2}}{\frac{b}{2}} = \frac{c}{12 - c}}\)
\(\displaystyle{ \frac{12}{b} - 1 = \frac{c}{12 - c}}\)
\(\displaystyle{ \frac{12}{b} = \frac{12 - c}{12 - c} + \frac{c}{12 - c}}\)
\(\displaystyle{ \frac{12}{b} = \frac{12}{12 - c}}\)
\(\displaystyle{ b = 12 - c}\)

Teraz wystarczy tylko podstawić do wzoru na pole prostokąta:

\(\displaystyle{ P = bc}\)
\(\displaystyle{ P = c(12 - c)}\)
\(\displaystyle{ P = -c^2 + 12c}\)

Czyli mamy równanie kwadratowe i musimy stwierdzić dla jakiego c przyjmuje ono największą wartość (czyli gdzie znajduje się wierzchołek paraboli). Będzie to dla c = 6.

Czyli mamy c = 6, oraz b = 12 - c = 6

tego typu zadania z zasady traktuje się pochodnymi,
czyli nie odbieram racji

Dzieki za rozwiazania

Arbooz - oczywiscie powinno byc "W trójkąt równoramienny..." - Juz poprawiam

Pozdrawiam