Witam, ma ktos pomysl na to zadanko? Potrzebuje na rano, klasowke mam...
W trójkąt równoramienny o podstawie a=12cm i wysokosci h=12cm, wpisano prostokat, jakie powinny byc wymiary prostokata aby jego pole bylo najwieksze.
Z gory dzieki
Pozdrawiam
Przy jakich wymiarach jest najwieksze pole
Przy jakich wymiarach jest najwieksze pole
Ostatnio zmieniony 9 lut 2005, o 22:42 przez birdy1986, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Arbooz
- Gość Specjalny
- Posty: 308
- Rejestracja: 13 gru 2004, o 20:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białogard/Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 7 razy
Przy jakich wymiarach jest najwieksze pole
Zadanie jest dziurawe. Zakładam, że chodziło o "W trójkąt równoramienny..."
Polecam to wszystko sobie po kolei rysować, żeby łatwiej zrozumieć...
Wpiszmy sobie dowolny prostokąt w trójkąt równoramienny, a jego boki oznaczmy b (bok zawierający się w podstawie trójkąta) i c (bok równoległy do wysokości trójkąta). Następnie zauważmy, że wysokość trójkąta jest osią symetrii, zarówno trójkąta jak i prostokąta, więc możemy rozpatrzyć tylko połowę naszej figury, gdyż druga będzie zachowywała się identycznie. Mamy więc trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 12 i 6 oraz wpisany w niego prostokąt o bokach c i \(\displaystyle{ \frac{b}{2}}\).
Z podobieństwa małych trójkątów możemy zauważyć, że:
\(\displaystyle{ \frac{12 - c}{\frac{b}{2}} = \frac{c}{6 - \frac{b}{2}}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \frac{6 - \frac{b}{2}}{\frac{b}{2}} = \frac{c}{12 - c}}\)
\(\displaystyle{ \frac{12}{b} - 1 = \frac{c}{12 - c}}\)
\(\displaystyle{ \frac{12}{b} = \frac{12 - c}{12 - c} + \frac{c}{12 - c}}\)
\(\displaystyle{ \frac{12}{b} = \frac{12}{12 - c}}\)
\(\displaystyle{ b = 12 - c}\)
Teraz wystarczy tylko podstawić do wzoru na pole prostokąta:
\(\displaystyle{ P = bc}\)
\(\displaystyle{ P = c(12 - c)}\)
\(\displaystyle{ P = -c^2 + 12c}\)
Czyli mamy równanie kwadratowe i musimy stwierdzić dla jakiego c przyjmuje ono największą wartość (czyli gdzie znajduje się wierzchołek paraboli). Będzie to dla c = 6.
Czyli mamy c = 6, oraz b = 12 - c = 6
Polecam to wszystko sobie po kolei rysować, żeby łatwiej zrozumieć...
Wpiszmy sobie dowolny prostokąt w trójkąt równoramienny, a jego boki oznaczmy b (bok zawierający się w podstawie trójkąta) i c (bok równoległy do wysokości trójkąta). Następnie zauważmy, że wysokość trójkąta jest osią symetrii, zarówno trójkąta jak i prostokąta, więc możemy rozpatrzyć tylko połowę naszej figury, gdyż druga będzie zachowywała się identycznie. Mamy więc trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 12 i 6 oraz wpisany w niego prostokąt o bokach c i \(\displaystyle{ \frac{b}{2}}\).
Z podobieństwa małych trójkątów możemy zauważyć, że:
\(\displaystyle{ \frac{12 - c}{\frac{b}{2}} = \frac{c}{6 - \frac{b}{2}}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \frac{6 - \frac{b}{2}}{\frac{b}{2}} = \frac{c}{12 - c}}\)
\(\displaystyle{ \frac{12}{b} - 1 = \frac{c}{12 - c}}\)
\(\displaystyle{ \frac{12}{b} = \frac{12 - c}{12 - c} + \frac{c}{12 - c}}\)
\(\displaystyle{ \frac{12}{b} = \frac{12}{12 - c}}\)
\(\displaystyle{ b = 12 - c}\)
Teraz wystarczy tylko podstawić do wzoru na pole prostokąta:
\(\displaystyle{ P = bc}\)
\(\displaystyle{ P = c(12 - c)}\)
\(\displaystyle{ P = -c^2 + 12c}\)
Czyli mamy równanie kwadratowe i musimy stwierdzić dla jakiego c przyjmuje ono największą wartość (czyli gdzie znajduje się wierzchołek paraboli). Będzie to dla c = 6.
Czyli mamy c = 6, oraz b = 12 - c = 6
Przy jakich wymiarach jest najwieksze pole
Dzieki za rozwiazania
Arbooz - oczywiscie powinno byc "W trójkąt równoramienny..." - Juz poprawiam
Pozdrawiam
Arbooz - oczywiscie powinno byc "W trójkąt równoramienny..." - Juz poprawiam
Pozdrawiam