Matematyka.pl

Czy wie ktoś jak udowodnić następujące twierdzenia:
1) suma niezależnych zmiennych o rozkładach geometrycznych ma rozkład rozkład Pascala
2)suma niezależnych zmiennych losowych o rozkładach wykładniczych ma rozkład Erlanga

Skorzystaj z tych wzorów:
\(\displaystyle{ P(X+Y=k)=\sum\limits_{y=0}^k P(X=k) P(Y=k-y)}\)
\(\displaystyle{ f_{X+Y}(k)=\int\limits_0^k f_X(x) f_Y(k-x)dx}\)

Te wzory są nieprawdziwe. Suma i całka mają złe granice.

Tylko w sumie jest błąd. Po za tym jest ok, przynajmniej, dla tych przypadków:

a)
\(\displaystyle{ X, Y \simeq Geo(p)}\)
\(\displaystyle{ P(X+Y=k)=\sum\limits_{y=0}^k P(X=y) P(Y=k-y)=\sum\limits_{y=0}^k p(1-p)^{y-1}p(1-p)^{k-y-1}=\left( \frac{p}{1-p} \right)^2\sum\limits_{y=0}^k (1-p)^{k}=kp^2(1-p)^{k-2}}\)
b)
\(\displaystyle{ f_{X+Y}(k)=\int\limits_0^k f_X(x) f_Y(k-x)dx=\int\limits_0^k ae^{-ax}\cdot ae^{-a(k-x)} dx=
\int\limits_0^k a^2 e^{-ak} dx=ka^2e^{-ak}}\)

Za to kładą się, gdy nośnikiem jest np. \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) w przypadku sumy oraz \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) w przypadku całki. Albo podajemy ogólny wzór na splot albo do każdego zadania potrzebujemy innego wzoru.