[MIX][Analiza][Algebra] Rozgrzewka przed drugim etapem OM
: 30 sty 2015, o 18:54
Z teorią liczb rozprawiliście się szybko, więc oto seria kolejna - tym razem nierówności i równania, a wśród ostatnich także te funkcyjne. Rozwiązania do większości tych zadań mam/pamiętam, więc w razie potrzeby mogę wspomóc wskazówkami.
Link do serii Teoria liczb
(wszelkie literówki i proste pomyłki w treści zadań prosiłbym zgłaszać w prywatnych wiadomościach)
(zadania, których pełne rozwiązania zostały podane, są zaznaczone na zielono)
Zadanie 1 - rozwiązane przez AndrzejaK
Dane są liczby nieujemne \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6}\) o sumie równej \(\displaystyle{ 1}\). Wyznaczyć maksymalną wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ a_1a_2a_3 + a_2a_3a_4 + a_3a_4a_5 + a_4a_5a_6 + a_5a_6a_1 + a_6a_1a_2}\).
Zadanie 2 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Udowodnić, że dla liczb dodatnich \(\displaystyle{ a, \ b, \ c, \ d, \ e}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{a}{e+a+b}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{c+d+e}+\frac{e}{d+e+a}<2}\).
Zadanie 3 - rozwiązane przez Vaxa
Suma dodatnich liczb \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots , a_n}\) równa się \(\displaystyle{ 1}\). Wyznaczyć największą wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ a_{1}\cdot a_{2}^{2} \cdot a_{3}^{3}\cdot \ldots \cdot a_{n}^{n}}\).
Zadanie 4 - rozwiązane przez Vaxa
Dane są liczby dodatnie \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots , a_n}\) o iloczynie równym \(\displaystyle{ 1}\). Udowodnić, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+a_{1}^{2}}+\frac{1}{1+a_{2}^{2}}+\ldots+\frac{1}{1+a_{n}^{2}}\ge 1}\).
Zadanie 5 - rozwiązane przez Hydrę147
Dane są liczby dodatnie \(\displaystyle{ p, \ q, \ r, \ s}\). Pokazać, że z odcinków o długości
\(\displaystyle{ \sqrt{p^{2}+q^{2}}, \ \sqrt{q^{2}+r^{2}+s^{2}+2qr}, \ \sqrt{p^{2}+r^{2}+s^{2}+2ps}}\)
da się zbudować trójkąt i jego pole wynosi \(\displaystyle{ \tfrac{1}{2} \left( pq + pr + qs \right)}\).
Zadanie 6 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Niech liczby rzeczywiste nieujemne \(\displaystyle{ a, b, x, y}\) spełniają nierównści
\(\displaystyle{ a^5+b^5\le 1, \quad x^5+y^5 \le 1}\).
Dowieść, że
\(\displaystyle{ a^2x^3+b^2y^3\le 1}\).
Zadanie 7 - rozwiązane przez marcina7Cd
Wyznaczyć warunek konieczny i wystarczający jaki muszą spełniać stałe liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ r_1, r_2, \ldots , r_n}\), aby nierówność
\(\displaystyle{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots + x_{n}^{2} \ge \left(r_{1}x_{1}+r_{2}x_{2}+\ldots + r_{n}x_{n}\right)^{2}}\)
zachodziła dla wszystkich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x_1, x_2, \ldots , x_n}\).
Zadanie 8 - rozwiązane przez marcina7Cd
Wyznacz największą stałą liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ k}\) taką, aby nierówność
\(\displaystyle{ \frac{kabc}{a+b+c} \le \left( a + b \right) ^2 + \left( a + b + 4c \right) ^2}\)
zachodziła dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a, \ b}\) i \(\displaystyle{ c}\).
Zadanie 9 - rozwiązane przez marcina7Cd
Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie liczbą dodatnią, \(\displaystyle{ n \ge 2}\) liczbą naturalną. Liczby \(\displaystyle{ x_1, x_2, \ldots, x_n}\) należą do przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0, a \right]}\) i spełniają warunek
\(\displaystyle{ x_1x_2 \ldots x_n = \left( a - x_1 \right) ^2 \left( a - x_2 \right) ^2 \ldots \left( a - x_n \right) ^2}\).
Wyznaczyć maksymalną wartość iloczynu \(\displaystyle{ x_1x_2 \ldots x_n}\).
Zadanie 10
Liczby dodatnie \(\displaystyle{ a, \ b, \ c, \ d}\) i \(\displaystyle{ e}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ abcde = 1}\). Udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ \tfrac{a + abc}{1 + ab + abcd} +\tfrac{b + bcd}{1 + bc + bcde} +\tfrac{c + cda}{1 + cd + cdea} +\tfrac{d + dea}{1 + de + deab} +\tfrac{e + eab}{1 + ea + eabc} \ge \tfrac{10}{3}}\).
Zadanie 11 - rozwiązane przez Zahiona
Udowodnić, że dla \(\displaystyle{ x, y \in \RR}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ x^4 + y^4 + \left( x^2 + 1 \right) \left( y^2 + 1 \right) \ge x^3 \left( 1 + y \right) + y^3 \left( 1+x \right) +x+y}\).
Zadanie 12 - rozwiązane przez Hydrę147
Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{y^2 + 1} + \sqrt{z^2 + 1} \ge \sqrt{6 \left( x + y + z \right) }}\).
Zadanie 13 - rozwiązane przez marcina7Cd i timona92
Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{8a^2 + \left( b + c \right) ^2}+\frac{b^2}{8b^2 + \left( c + a \right) ^2}+\frac{c^{2}}{8c^{2}+ \left( a+b \right) ^{2}} \le \frac{1}{4}}\).
Zadanie 14 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Udowodnić, że iloczyn \(\displaystyle{ 99}\) liczb postaci \(\displaystyle{ \tfrac{k^{3}-1}{k^{3}+1}}\) (\(\displaystyle{ k = 2, 3, \ldots, 100}\)) jest większy od \(\displaystyle{ \tfrac{2}{3}}\).
Zadanie 15 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Niezerowe wielomiany \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) o współczynnikach rzeczywistych spełniają dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) warunek \(\displaystyle{ f\left(x^{2}+x+1\right)=f\left(x\right)g\left(x\right)}\). Udowodnić, że wielomian \(\displaystyle{ f}\) ma parzysty stopień.
Zadanie 16 - rozwiązane przez marcina7Cd
Dany jest wielomian \(\displaystyle{ f \left( x \right) = x^3 + ax^2 + bx + c}\) przy czym \(\displaystyle{ b < 0}\) oraz \(\displaystyle{ ab = 9c}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ f}\) ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.
Zadanie 17 - rozwiązane przez Ananasiatko
Wielomian \(\displaystyle{ P}\) stopnia \(\displaystyle{ n}\) spełnia równości
\(\displaystyle{ P\left(k\right)=\frac{1}{k}}\) dla \(\displaystyle{ k = 1,2,4,8, \ldots ,2^n}\).
Obliczyć \(\displaystyle{ P \left( 0 \right)}\).
Zadanie 18 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Niech \(\displaystyle{ f \left( x \right) = x^2 + 12x+ 30}\). Rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ f \left( f \left( f \left( f \left( f \left( x \right) \right) \right) \right) \right) = 0}\).
Zadanie 19 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Rozstrzygnąć, czy istnieje różnowartościowa funkcja \(\displaystyle{ f}\) określona na zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3, \ldots \right\}}\), o wartościach w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,\ldots \right\}}\) i spełniająca dla dowolnych liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ m, \ n}\) równość
\(\displaystyle{ f \left( mn \right) = f \left( m \right) +f \left( n \right)}\).
Zadanie 20 - rozwiązane przez hannahannah i marcina7Cd
Niech \(\displaystyle{ \NN = \left\{ 0, 1, 2, \ldots \right\}}\), zaś \(\displaystyle{ \RR}\) jest zbiorem liczb rzeczywistych. Wyznaczyć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f : \NN \rightarrow \RR}\) spełniające warunek
\(\displaystyle{ f \left( x + y \right) + f \left( x - y \right) = f \left( 3x \right)}\).
Zadanie 21 - rozwiązane przez marcina7Cd
Niech \(\displaystyle{ \RR^{+}}\) oznacza zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych. Udowodnić, że dla danych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) istnieje dokładnie jedna funkcja \(\displaystyle{ f : \RR^{+} \rightarrow \RR^{+}}\) spełniająca równanie funkcyjne
\(\displaystyle{ f \left( f \left( x \right) \right) + af \left( x \right) = b \left( a + b \right) x}\).
Zadanie 22 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Wyznaczyć wszystkie ciągi \(\displaystyle{ a_1 \le a_2 \le \ldots \le a_n}\) dodatnich liczb rzeczywistych takie, że
\(\displaystyle{ \sum^n_{i=1}a_i = 96 \quad \sum^n_{i=1}a_{i}^{2} = 144 \quad \sum^n_{i=1}a_{i}^{3}= 216}\).
Zadanie 23 - rozwiązane przez marcina7Cd i gusa
Wyznaczyć wszystkie rozwiązania rzeczywiste równania
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+\ldots x^{2}_{n}} =\sqrt[3]{x^{3}_{1}+x^{3}_{2}+\ldots + x^{3}_{n}}}\).
Zadanie 24 - rozwiązane przez marcina7Cd
Wyznaczyć największą wartość \(\displaystyle{ x_0}\), dla której istnieje ciąg liczb rzeczywistych dodatnich \(\displaystyle{ x_0, x_1, \ldots , x_{1995}}\) spełniających dwa warunki:
\(\displaystyle{ x_0 = x_{1995}}\) oraz \(\displaystyle{ x_{i-1} +\tfrac{2}{x_{i-1}}= 2x_{i} +\tfrac{1}{x_i}}\)
dla \(\displaystyle{ i = 1, 2, \ldots , 1995}\).
Zadanie 25 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a, \ b, \ c, \ d}\) spełniają warunek
\(\displaystyle{ a^2 + b^2 + \left( a + b \right) ^2 = c^2+d^2+ \left( c+d \right) ^2}\).
Dowieść, że
\(\displaystyle{ a^4 + b^4 + \left( a + b \right) ^4 = c^4+d^4+ \left( c+d \right) ^4}\).
Zadanie 26 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2^{x^{2}+y}+2^{y^{2}+x}=128 \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=2\sqrt{2} \end{cases}}\).
Zadanie 27
Niech \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots , a_n, b_1, b_2, \ldots , b_n}\) będą \(\displaystyle{ 2n}\) liczbami rzeczywistymi, przy czym liczby \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots , a_n}\) są różne między sobą. Przypuśćmy, że dla każdego \(\displaystyle{ i \in \left\{ 1, 2, \ldots , n \right\} , \left( a_i +b_1 \right) \left( a_i +b_2 \right) \ldots \left( a_i +b_n \right) = 1}\). Dla każdego \(\displaystyle{ j \in \left\{ 1, 2, \ldots , n \right\}}\), obliczyć \(\displaystyle{ \left( a_1 + b_j \right) \left( a_2 + b_j \right) \ldots \left( a_n + b_j \right)}\).
Powodzenia!
Link do serii Teoria liczb
(wszelkie literówki i proste pomyłki w treści zadań prosiłbym zgłaszać w prywatnych wiadomościach)
(zadania, których pełne rozwiązania zostały podane, są zaznaczone na zielono)
Zadanie 1 - rozwiązane przez AndrzejaK
Dane są liczby nieujemne \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6}\) o sumie równej \(\displaystyle{ 1}\). Wyznaczyć maksymalną wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ a_1a_2a_3 + a_2a_3a_4 + a_3a_4a_5 + a_4a_5a_6 + a_5a_6a_1 + a_6a_1a_2}\).
Zadanie 2 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Udowodnić, że dla liczb dodatnich \(\displaystyle{ a, \ b, \ c, \ d, \ e}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{a}{e+a+b}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{c+d+e}+\frac{e}{d+e+a}<2}\).
Zadanie 3 - rozwiązane przez Vaxa
Suma dodatnich liczb \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots , a_n}\) równa się \(\displaystyle{ 1}\). Wyznaczyć największą wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ a_{1}\cdot a_{2}^{2} \cdot a_{3}^{3}\cdot \ldots \cdot a_{n}^{n}}\).
Zadanie 4 - rozwiązane przez Vaxa
Dane są liczby dodatnie \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots , a_n}\) o iloczynie równym \(\displaystyle{ 1}\). Udowodnić, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+a_{1}^{2}}+\frac{1}{1+a_{2}^{2}}+\ldots+\frac{1}{1+a_{n}^{2}}\ge 1}\).
Zadanie 5 - rozwiązane przez Hydrę147
Dane są liczby dodatnie \(\displaystyle{ p, \ q, \ r, \ s}\). Pokazać, że z odcinków o długości
\(\displaystyle{ \sqrt{p^{2}+q^{2}}, \ \sqrt{q^{2}+r^{2}+s^{2}+2qr}, \ \sqrt{p^{2}+r^{2}+s^{2}+2ps}}\)
da się zbudować trójkąt i jego pole wynosi \(\displaystyle{ \tfrac{1}{2} \left( pq + pr + qs \right)}\).
Zadanie 6 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Niech liczby rzeczywiste nieujemne \(\displaystyle{ a, b, x, y}\) spełniają nierównści
\(\displaystyle{ a^5+b^5\le 1, \quad x^5+y^5 \le 1}\).
Dowieść, że
\(\displaystyle{ a^2x^3+b^2y^3\le 1}\).
Zadanie 7 - rozwiązane przez marcina7Cd
Wyznaczyć warunek konieczny i wystarczający jaki muszą spełniać stałe liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ r_1, r_2, \ldots , r_n}\), aby nierówność
\(\displaystyle{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots + x_{n}^{2} \ge \left(r_{1}x_{1}+r_{2}x_{2}+\ldots + r_{n}x_{n}\right)^{2}}\)
zachodziła dla wszystkich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x_1, x_2, \ldots , x_n}\).
Zadanie 8 - rozwiązane przez marcina7Cd
Wyznacz największą stałą liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ k}\) taką, aby nierówność
\(\displaystyle{ \frac{kabc}{a+b+c} \le \left( a + b \right) ^2 + \left( a + b + 4c \right) ^2}\)
zachodziła dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a, \ b}\) i \(\displaystyle{ c}\).
Zadanie 9 - rozwiązane przez marcina7Cd
Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie liczbą dodatnią, \(\displaystyle{ n \ge 2}\) liczbą naturalną. Liczby \(\displaystyle{ x_1, x_2, \ldots, x_n}\) należą do przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0, a \right]}\) i spełniają warunek
\(\displaystyle{ x_1x_2 \ldots x_n = \left( a - x_1 \right) ^2 \left( a - x_2 \right) ^2 \ldots \left( a - x_n \right) ^2}\).
Wyznaczyć maksymalną wartość iloczynu \(\displaystyle{ x_1x_2 \ldots x_n}\).
Zadanie 10
Liczby dodatnie \(\displaystyle{ a, \ b, \ c, \ d}\) i \(\displaystyle{ e}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ abcde = 1}\). Udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ \tfrac{a + abc}{1 + ab + abcd} +\tfrac{b + bcd}{1 + bc + bcde} +\tfrac{c + cda}{1 + cd + cdea} +\tfrac{d + dea}{1 + de + deab} +\tfrac{e + eab}{1 + ea + eabc} \ge \tfrac{10}{3}}\).
Zadanie 11 - rozwiązane przez Zahiona
Udowodnić, że dla \(\displaystyle{ x, y \in \RR}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ x^4 + y^4 + \left( x^2 + 1 \right) \left( y^2 + 1 \right) \ge x^3 \left( 1 + y \right) + y^3 \left( 1+x \right) +x+y}\).
Zadanie 12 - rozwiązane przez Hydrę147
Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{y^2 + 1} + \sqrt{z^2 + 1} \ge \sqrt{6 \left( x + y + z \right) }}\).
Zadanie 13 - rozwiązane przez marcina7Cd i timona92
Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{8a^2 + \left( b + c \right) ^2}+\frac{b^2}{8b^2 + \left( c + a \right) ^2}+\frac{c^{2}}{8c^{2}+ \left( a+b \right) ^{2}} \le \frac{1}{4}}\).
Zadanie 14 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Udowodnić, że iloczyn \(\displaystyle{ 99}\) liczb postaci \(\displaystyle{ \tfrac{k^{3}-1}{k^{3}+1}}\) (\(\displaystyle{ k = 2, 3, \ldots, 100}\)) jest większy od \(\displaystyle{ \tfrac{2}{3}}\).
Zadanie 15 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Niezerowe wielomiany \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) o współczynnikach rzeczywistych spełniają dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) warunek \(\displaystyle{ f\left(x^{2}+x+1\right)=f\left(x\right)g\left(x\right)}\). Udowodnić, że wielomian \(\displaystyle{ f}\) ma parzysty stopień.
Zadanie 16 - rozwiązane przez marcina7Cd
Dany jest wielomian \(\displaystyle{ f \left( x \right) = x^3 + ax^2 + bx + c}\) przy czym \(\displaystyle{ b < 0}\) oraz \(\displaystyle{ ab = 9c}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ f}\) ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.
Zadanie 17 - rozwiązane przez Ananasiatko
Wielomian \(\displaystyle{ P}\) stopnia \(\displaystyle{ n}\) spełnia równości
\(\displaystyle{ P\left(k\right)=\frac{1}{k}}\) dla \(\displaystyle{ k = 1,2,4,8, \ldots ,2^n}\).
Obliczyć \(\displaystyle{ P \left( 0 \right)}\).
Zadanie 18 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Niech \(\displaystyle{ f \left( x \right) = x^2 + 12x+ 30}\). Rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ f \left( f \left( f \left( f \left( f \left( x \right) \right) \right) \right) \right) = 0}\).
Zadanie 19 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Rozstrzygnąć, czy istnieje różnowartościowa funkcja \(\displaystyle{ f}\) określona na zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3, \ldots \right\}}\), o wartościach w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,\ldots \right\}}\) i spełniająca dla dowolnych liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ m, \ n}\) równość
\(\displaystyle{ f \left( mn \right) = f \left( m \right) +f \left( n \right)}\).
Zadanie 20 - rozwiązane przez hannahannah i marcina7Cd
Niech \(\displaystyle{ \NN = \left\{ 0, 1, 2, \ldots \right\}}\), zaś \(\displaystyle{ \RR}\) jest zbiorem liczb rzeczywistych. Wyznaczyć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f : \NN \rightarrow \RR}\) spełniające warunek
\(\displaystyle{ f \left( x + y \right) + f \left( x - y \right) = f \left( 3x \right)}\).
Zadanie 21 - rozwiązane przez marcina7Cd
Niech \(\displaystyle{ \RR^{+}}\) oznacza zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych. Udowodnić, że dla danych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) istnieje dokładnie jedna funkcja \(\displaystyle{ f : \RR^{+} \rightarrow \RR^{+}}\) spełniająca równanie funkcyjne
\(\displaystyle{ f \left( f \left( x \right) \right) + af \left( x \right) = b \left( a + b \right) x}\).
Zadanie 22 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Wyznaczyć wszystkie ciągi \(\displaystyle{ a_1 \le a_2 \le \ldots \le a_n}\) dodatnich liczb rzeczywistych takie, że
\(\displaystyle{ \sum^n_{i=1}a_i = 96 \quad \sum^n_{i=1}a_{i}^{2} = 144 \quad \sum^n_{i=1}a_{i}^{3}= 216}\).
Zadanie 23 - rozwiązane przez marcina7Cd i gusa
Wyznaczyć wszystkie rozwiązania rzeczywiste równania
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+\ldots x^{2}_{n}} =\sqrt[3]{x^{3}_{1}+x^{3}_{2}+\ldots + x^{3}_{n}}}\).
Zadanie 24 - rozwiązane przez marcina7Cd
Wyznaczyć największą wartość \(\displaystyle{ x_0}\), dla której istnieje ciąg liczb rzeczywistych dodatnich \(\displaystyle{ x_0, x_1, \ldots , x_{1995}}\) spełniających dwa warunki:
\(\displaystyle{ x_0 = x_{1995}}\) oraz \(\displaystyle{ x_{i-1} +\tfrac{2}{x_{i-1}}= 2x_{i} +\tfrac{1}{x_i}}\)
dla \(\displaystyle{ i = 1, 2, \ldots , 1995}\).
Zadanie 25 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a, \ b, \ c, \ d}\) spełniają warunek
\(\displaystyle{ a^2 + b^2 + \left( a + b \right) ^2 = c^2+d^2+ \left( c+d \right) ^2}\).
Dowieść, że
\(\displaystyle{ a^4 + b^4 + \left( a + b \right) ^4 = c^4+d^4+ \left( c+d \right) ^4}\).
Zadanie 26 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2^{x^{2}+y}+2^{y^{2}+x}=128 \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=2\sqrt{2} \end{cases}}\).
Zadanie 27
Niech \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots , a_n, b_1, b_2, \ldots , b_n}\) będą \(\displaystyle{ 2n}\) liczbami rzeczywistymi, przy czym liczby \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots , a_n}\) są różne między sobą. Przypuśćmy, że dla każdego \(\displaystyle{ i \in \left\{ 1, 2, \ldots , n \right\} , \left( a_i +b_1 \right) \left( a_i +b_2 \right) \ldots \left( a_i +b_n \right) = 1}\). Dla każdego \(\displaystyle{ j \in \left\{ 1, 2, \ldots , n \right\}}\), obliczyć \(\displaystyle{ \left( a_1 + b_j \right) \left( a_2 + b_j \right) \ldots \left( a_n + b_j \right)}\).
Powodzenia!