Matematyka.pl

Witam.
Mam problem z następującym zadaniem:
"Macierzą przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ T: R ^{3} \rightarrow R ^{3}}\) względem bazy \(\displaystyle{ B=((1, 2, 3), (2, 3, 1),(4, 5, 2))}\) jest macierz \(\displaystyle{ [T] _{B} =\begin{bmatrix} 1&2&3\\-1&0&4\\2&-1&1\end{bmatrix}}\).
(1). Wykazać, że T jest odwracalne.
(2). Wyznaczyć \(\displaystyle{ [T ^{-1}] _{B}}\).
(3). Wyznaczyć macierze \(\displaystyle{ [T] _{C}}\) i \(\displaystyle{ [T ^{-1} ] _{C}}\), gdy \(\displaystyle{ C = (
(1, 2, 3), (0, 1, 2), (0, 0, 1))}\).
(4) Dany jest wektor x taki, że \(\displaystyle{ [x] _{B} = (1, 1, 1).}\) Wyznaczyć x, \(\displaystyle{ [T(x)] _{B}}\) i \(\displaystyle{ [T(x)] _{C}}\)."

Niestety, zupełnie nie mam pojęcia jak się za to zabrać, a co dopiero całe rozwiązać. Czy ktoś mógłby mnie naprowadzić?

Przekształcenie liniowe jest odwracalne jeżeli macierz tego przekształcenia jest odwracalna.

Czyli wystarczy wyznacznik niezerowy aby wykazać odwracalność - macierzą przekształcenia odwrotnego będzie macierz odwrotna.

Macierz przekształcenia w bazie C utrzymuje się w następujący sposób:

\(\displaystyle{ [T] _{C} = T_{B}^{C} \cdot T_{B} \cdot T_{C}^{B}}\)

gdzie \(\displaystyle{ T_{C}^{B}}\) oznacza macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ B}\) do \(\displaystyle{ C}\).