Matematyka.pl

Witam serdecznie:)
Zagadnienie do trudnych nie należy, jednak coś mi się nie zgadza. Czy ktoś mógłby rzucić okiem? Z góry dziękuję:)

Macierzą odwzorowania liniowego\(\displaystyle{ f: R^{2} \rightarrow R ^{2}}\) w bazie \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc}1\\-1\end{array}\right) , \left(\begin{array}{ccc}1\\1\end{array}\right)}\) jest \(\displaystyle{ A= \left(\begin{array}{ccc}3&0\\1&-2\end{array}\right)}\) . Wyznacz macierz \(\displaystyle{ f}\) w bazie kanonicznej.

No więc jeśli wezmę sobie, że \(\displaystyle{ P}\):
\(\displaystyle{ P= \left[\begin{array}{ccc}1\\-1\end{array}\begin{array}{ccc}1\\1\end{array}\right]}\)
To wystarczy podstawić dane pod wzór: \(\displaystyle{ A'=P ^{-1} \cdot A \cdot P}\) ? Czy otrzymany wynik to będzie rozwiązanie?
Z góry dziękuję za wszystkie podpowiedzi:)

tak - jest ok.

Mnożenie macierzy jest zdefiniowane tak, żeby odpowiadało składaniu przekształceń liniowych. Więc czytamy od prawej. Macierz \(\displaystyle{ P}\) przerzuca wektory z bazy kanonicznej do Twojej bazy, potem macierz \(\displaystyle{ A}\) działa w Twojej bazie, potem macierz \(\displaystyle{ P^{-1}}\) przerzuca wektory z Twojej bazy z powrotem do kanonicznej.

Może być?

Wielkie dzięki za odpowiedź:)

No więc gdzie może być błąd?

Całe rozwiązanie:
\(\displaystyle{ B= \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ B'= \left[\begin{array}{ccc}1&1\\-1&1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ P= \left[\begin{array}{ccc}1&1\\-1&1\end{array}\right]}\) - macierz przejścia z B do B'.
A' - macierz odwzorowania w bazie B
A - macierz odwzorowania w bazie B'

Korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ A'=P ^{-1} \cdot A \cdot P}\)

\(\displaystyle{ A'= \frac{1}{2} \left[\begin{array}{ccc}1&-1\\1&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}3&0\\1&-2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&1\\-1&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0&2\\3&1\end{array}\right]}\)

Moim zdaniem błąd w rachunkach - wrzuć w wolframa i zobacz, czy dobrze policzyłeś te macierze -- 30 sty 2015, o 00:12 --A jak wyznaczasz macierz odwrotną do \(\displaystyle{ P}\)? Pamiętasz o zamianie znaków?... ;P

Ok, już znalazłem błąd, trochę namieszały mi oznaczenia:) Przy takim oznaczeniu powinienem przekształcić wzorek i w tym wypadku wyglądałby on tak:
\(\displaystyle{ A'=P \cdot A \cdot P^{-1}}\)
Tak czy siak, wielkie dzięki za wskazówki!:)