[MIX][Teoria liczb] Rozgrzewka przed drugim etapem OM
: 28 sty 2015, o 23:47
Za uprzejmością pana Martysa wstawiam tu zadania z kółka przezeń prowadzonego w roku szkolnym 2013/2014. Zadania te można znaleźć i w innych miejscach w internecie, ale sądzę, że forma mixu, oraz możliwość pochwalenia się rozwiązaniem na forum skłoni większą liczbę osób do rozwiązywania - co przyda się szczególnie przed II etapem Olimpiady. Rozwiązania do większości tych zadań mam/pamiętam, więc w razie potrzeby mogę wspomóc wskazówkami.
Link do serii Analiza i algebra
(wszelkie literówki i proste pomyłki w treści zadań prosiłbym zgłaszać w prywatnych wiadomościach)
(zadania, których pełne rozwiązania zostały podane, są zaznaczone na zielono)
Zadanie 1 - rozwiązane przez krolikabuksa42
Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ \frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}}\) jest złożona.
Zadanie 2 - rozwiązane przez hannahannah
Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, to z dowolnego zbioru \(\displaystyle{ 2p-1}\) liczb całkowitych można wybrać \(\displaystyle{ p}\) takich, których suma jest podzielna przez \(\displaystyle{ p}\).
Zadanie 3 - rozwiązane przez marcina7Cd
Dane są liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ k<n}\). Załóżmy, że każda z liczb całkowitych \(\displaystyle{ a_1, \ a_2, \ \ldots, \ a_k}\) jest względnie pierwsza z \(\displaystyle{ n}\). Utwórzmy wszelkie możliwe sumy tych liczb (bez powtórzeń). Wykazać, że otrzymane sumy dają co najmniej \(\displaystyle{ k}\) różnych, niezerowych reszt przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ n}\).
Zadanie 4 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Wykazać, że istnieje liczba postaci \(\displaystyle{ 5^n}\), której zapis dziesiętny zawiera co najmniej \(\displaystyle{ 2013}\) kolejnych zer.
Zadanie 5 - rozwiązane przez Pinionrzka
Liczby \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są dwiema kolejnymi liczbami pierwszymi, przy czym \(\displaystyle{ p>q >2}\). Dowieść, że liczbę \(\displaystyle{ p+q}\) można przedstawić w postaci iloczynu trzech liczb naturalnych większych od \(\displaystyle{ 1}\).
Zadanie 6 - rozwiązane przez Pinionrzka i mola_ksiazkowego
Ciąg \(\displaystyle{ a_1, \ a_2, \ \ldots}\) jest określony przez warunki:
\(\displaystyle{ a_1 = a_2 = 1, \quad a_{n+1} =\frac{a^{2}_{n} + 1}{a_{n-1}}}\).
Wykazać, że wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi.
Zadanie 7 - rozwiązane przez AndrzejaK
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla których liczba \(\displaystyle{ n^8+n+1}\) jest liczbą pierwszą.
Zadanie 8 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Niech \(\displaystyle{ n \ge 2}\) będzie liczbą naturalną. Wykazać, że każdy wyraz ciągu
\(\displaystyle{ n!+ 1, \ n!+ 2, \ \ldots , \ n!+n}\)
posiada taki dzielnik pierwszy, który nie jest dzielnikiem żadnego innego wyrazu tego ciągu.
Zadanie 9 - rozwiązane przez krolikabuksa42
Wykazać, że każdą dodatnią liczbę wymierną można przedstawić w postaci
ułamka
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}+b^{3}}{c^{5}+d^{7}}}\)
gdzie \(\displaystyle{ a, \ b, \ c, \ d}\) są dodatnimi liczbami całkowitymi.
Zadanie 10 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Dla danej liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ n}\) rozstrzygnąć, czy podzbiorów \(\displaystyle{ n}\)-elementowych zbioru \(\displaystyle{ \left\{1, 2, 3, \ldots, 2n-1, 2n\right\}}\) mających sumę elementów parzystą jest tyle samo, co podzbiorów \(\displaystyle{ n}\)-elementowych mających nieparzystą sumę elementów. Jeśli nie, to rozstrzygnąć, których jest więcej i o ile.
Zadanie 11 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Udowodnić, że spośród dowolnych \(\displaystyle{ n+ 2}\) liczb całkowitych (\(\displaystyle{ n \ge 1}\)) można wybrać takie dwie różne \(\displaystyle{ a, \ b}\), że liczba \(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2n}\).
Zadanie 12 - rozwiązane przez krolikabuksa42
Liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a, \ b, \ c, \ d}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ ab = cd}\). Dowieść, że liczba \(\displaystyle{ a+b+c+d}\) jest złożona.
Zadanie 13 - rozwiązane przez Hydrę147
Liczby \(\displaystyle{ a, \ b, \ c}\) są takimi liczbami całkowitymi, że liczby
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}}\)
są całkowite. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \left|a\right| = \left|b\right|=\left|c\right|}\).
Zadanie 14 - rozwiązane przez Pinionrzka
Liczby całkowite dodatnie spełniają warunek
\(\displaystyle{ a^{2}+ab+b^{2}=c^{2}+cd+d^{2}}\).
Wykazać, że liczba \(\displaystyle{ a+b+c+d}\) jest liczbą złożoną
Zadanie 15 - rozwiązane przez hannahannah
Rozstrzygnąć, czy istnieje wielomian \(\displaystyle{ f\left(x\right)}\) stopnia \(\displaystyle{ 100}\) o współczynnikach całkowitych o następującej własności: Dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n}\), każde dwa wyrazy ciągu
\(\displaystyle{ f \left( n \right) , \ f \left( f \left( n \right) \right) , \ f \left( f \left( f \left( n \right) \right) \right) , \ \ldots}\)
są względnie pierwsze.
Zadanie 16 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Liczby całkowite \(\displaystyle{ a, \ b, \ c, \ d}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ ad-bc = 1}\). Udowodnić, że ułamek
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}+b^{2}}{ac+bd}}\)
jest nieskracalny.
Zadanie 17 - rozwiązane przez Ananasiatko
Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Wyznaczyć liczbę podzbiorów \(\displaystyle{ A}\) zbioru \(\displaystyle{ \left\{1,2, \ldots ,2p\right\}}\) takich, że \(\displaystyle{ A}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ p}\) elementów oraz suma wszystkich elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ p}\).
Zadanie 18 - rozwiązane przez AndrzejaK
Każdy wierzchołek pewnego wielokąta wypukłego ma obie współrzędne całkowite. Ponadto każdy bok ma długość będącą dodatnią liczbą całkowitą. Wykazać, że obwód tego wielokąta jest liczbą parzystą.
Zadanie 19 - rozwiązane przez krolikabuksa42
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ x, \ y, \ z}\) spełniające równanie
\(\displaystyle{ 3^{x}+4^{y}=5^{z}}\).
Zadanie 20 - rozwiązane przez AndrzejaK
Wyznaczyć wszystkie całkowite rozwiązania układu równań:
\(\displaystyle{ x^{2}+9y^{2}+9z^{2}+4u^{2}=1981, \quad x + y + z + u = 54}\).
Zadanie 21 - rozwiązane przez Pinionrzka
Dany jest wielomian \(\displaystyle{ f}\) stopnia \(\displaystyle{ \ge \ 4}\) o współczynnikach całkowitych. Załóżmy, że istnieją cztery różne liczby całkowite \(\displaystyle{ a, \ b, \ c, \ d}\), dla których \(\displaystyle{ f \left( a \right) = f \left( b \right) = f \left( c \right) = f \left( d \right) = 5}\). Pokazać, że nie istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ k}\), dla której \(\displaystyle{ f \left( k \right) = 8}\).
Zadanie 22 - rozwiązane przez Pinionrzka
Każda z liczb \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots , a_n}\) jest równa \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ -1}\). Wiadomo również, że
\(\displaystyle{ a_1a_2a_3a_4 + a_2a_3a_4a_5 + \ldots + a_na_1a_2a_3 = 0}\).
Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\).
Zadanie 23 - rozwiązane przez Vaxa
Rozstrzygnąć, czy istnieje taka liczba całkowita dodatnia \(\displaystyle{ n}\), dla której liczba \(\displaystyle{ 7^{n}-1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6^{n} -1}\).
Zadanie 24 - rozwiązane przez Vaxa
Wyznaczyć wszystkie ciągi \(\displaystyle{ p_1, p_2, \ldots , p_{100}}\) liczb pierwszych, dla których spełnione są podzielności
\(\displaystyle{ p_{1}\mid p^{2}_{2}-1, \ p_{2}\mid p_{3}^{2}-1, \ \ldots , \ p_{100}\mid p_{1}^{2}-1}\).
Zadanie 25 - rozwiązane przez krolikabuksa42
Liczbę \(\displaystyle{ n}\) można przedstawić w postaci sumy kwadratów trzech liczb całkowitych dodatnich. Dowieść, że liczbę \(\displaystyle{ n^2}\) można także przedstawić w postaci sumy kwadratów trzech liczb całkowitych dodatnich.
Zadanie 26 - rozwiązane przez krolikabuksa42
Rozstrzygnąć, czy istnieje takich \(\displaystyle{ 100}\) różnych liczb całkowitych dodatnich,
z których każda jest dzielnikiem sumy pozostałych \(\displaystyle{ 99}\) liczb.
Zadanie 27 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Dane są liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a, \ b}\) o następującej własności: Dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ k}\), liczby \(\displaystyle{ ak + 2}\) oraz \(\displaystyle{ bk + 3}\) nie są względnie pierwsze. Udowodnić, że \(\displaystyle{ 3a = 2b}\).
Powodzenia!
Link do serii Analiza i algebra
(wszelkie literówki i proste pomyłki w treści zadań prosiłbym zgłaszać w prywatnych wiadomościach)
(zadania, których pełne rozwiązania zostały podane, są zaznaczone na zielono)
Zadanie 1 - rozwiązane przez krolikabuksa42
Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ \frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}}\) jest złożona.
Zadanie 2 - rozwiązane przez hannahannah
Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, to z dowolnego zbioru \(\displaystyle{ 2p-1}\) liczb całkowitych można wybrać \(\displaystyle{ p}\) takich, których suma jest podzielna przez \(\displaystyle{ p}\).
Zadanie 3 - rozwiązane przez marcina7Cd
Dane są liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ k<n}\). Załóżmy, że każda z liczb całkowitych \(\displaystyle{ a_1, \ a_2, \ \ldots, \ a_k}\) jest względnie pierwsza z \(\displaystyle{ n}\). Utwórzmy wszelkie możliwe sumy tych liczb (bez powtórzeń). Wykazać, że otrzymane sumy dają co najmniej \(\displaystyle{ k}\) różnych, niezerowych reszt przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ n}\).
Zadanie 4 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Wykazać, że istnieje liczba postaci \(\displaystyle{ 5^n}\), której zapis dziesiętny zawiera co najmniej \(\displaystyle{ 2013}\) kolejnych zer.
Zadanie 5 - rozwiązane przez Pinionrzka
Liczby \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są dwiema kolejnymi liczbami pierwszymi, przy czym \(\displaystyle{ p>q >2}\). Dowieść, że liczbę \(\displaystyle{ p+q}\) można przedstawić w postaci iloczynu trzech liczb naturalnych większych od \(\displaystyle{ 1}\).
Zadanie 6 - rozwiązane przez Pinionrzka i mola_ksiazkowego
Ciąg \(\displaystyle{ a_1, \ a_2, \ \ldots}\) jest określony przez warunki:
\(\displaystyle{ a_1 = a_2 = 1, \quad a_{n+1} =\frac{a^{2}_{n} + 1}{a_{n-1}}}\).
Wykazać, że wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi.
Zadanie 7 - rozwiązane przez AndrzejaK
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla których liczba \(\displaystyle{ n^8+n+1}\) jest liczbą pierwszą.
Zadanie 8 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Niech \(\displaystyle{ n \ge 2}\) będzie liczbą naturalną. Wykazać, że każdy wyraz ciągu
\(\displaystyle{ n!+ 1, \ n!+ 2, \ \ldots , \ n!+n}\)
posiada taki dzielnik pierwszy, który nie jest dzielnikiem żadnego innego wyrazu tego ciągu.
Zadanie 9 - rozwiązane przez krolikabuksa42
Wykazać, że każdą dodatnią liczbę wymierną można przedstawić w postaci
ułamka
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}+b^{3}}{c^{5}+d^{7}}}\)
gdzie \(\displaystyle{ a, \ b, \ c, \ d}\) są dodatnimi liczbami całkowitymi.
Zadanie 10 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Dla danej liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ n}\) rozstrzygnąć, czy podzbiorów \(\displaystyle{ n}\)-elementowych zbioru \(\displaystyle{ \left\{1, 2, 3, \ldots, 2n-1, 2n\right\}}\) mających sumę elementów parzystą jest tyle samo, co podzbiorów \(\displaystyle{ n}\)-elementowych mających nieparzystą sumę elementów. Jeśli nie, to rozstrzygnąć, których jest więcej i o ile.
Zadanie 11 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Udowodnić, że spośród dowolnych \(\displaystyle{ n+ 2}\) liczb całkowitych (\(\displaystyle{ n \ge 1}\)) można wybrać takie dwie różne \(\displaystyle{ a, \ b}\), że liczba \(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2n}\).
Zadanie 12 - rozwiązane przez krolikabuksa42
Liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a, \ b, \ c, \ d}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ ab = cd}\). Dowieść, że liczba \(\displaystyle{ a+b+c+d}\) jest złożona.
Zadanie 13 - rozwiązane przez Hydrę147
Liczby \(\displaystyle{ a, \ b, \ c}\) są takimi liczbami całkowitymi, że liczby
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}}\)
są całkowite. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \left|a\right| = \left|b\right|=\left|c\right|}\).
Zadanie 14 - rozwiązane przez Pinionrzka
Liczby całkowite dodatnie spełniają warunek
\(\displaystyle{ a^{2}+ab+b^{2}=c^{2}+cd+d^{2}}\).
Wykazać, że liczba \(\displaystyle{ a+b+c+d}\) jest liczbą złożoną
Zadanie 15 - rozwiązane przez hannahannah
Rozstrzygnąć, czy istnieje wielomian \(\displaystyle{ f\left(x\right)}\) stopnia \(\displaystyle{ 100}\) o współczynnikach całkowitych o następującej własności: Dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n}\), każde dwa wyrazy ciągu
\(\displaystyle{ f \left( n \right) , \ f \left( f \left( n \right) \right) , \ f \left( f \left( f \left( n \right) \right) \right) , \ \ldots}\)
są względnie pierwsze.
Zadanie 16 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Liczby całkowite \(\displaystyle{ a, \ b, \ c, \ d}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ ad-bc = 1}\). Udowodnić, że ułamek
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}+b^{2}}{ac+bd}}\)
jest nieskracalny.
Zadanie 17 - rozwiązane przez Ananasiatko
Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Wyznaczyć liczbę podzbiorów \(\displaystyle{ A}\) zbioru \(\displaystyle{ \left\{1,2, \ldots ,2p\right\}}\) takich, że \(\displaystyle{ A}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ p}\) elementów oraz suma wszystkich elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ p}\).
Zadanie 18 - rozwiązane przez AndrzejaK
Każdy wierzchołek pewnego wielokąta wypukłego ma obie współrzędne całkowite. Ponadto każdy bok ma długość będącą dodatnią liczbą całkowitą. Wykazać, że obwód tego wielokąta jest liczbą parzystą.
Zadanie 19 - rozwiązane przez krolikabuksa42
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ x, \ y, \ z}\) spełniające równanie
\(\displaystyle{ 3^{x}+4^{y}=5^{z}}\).
Zadanie 20 - rozwiązane przez AndrzejaK
Wyznaczyć wszystkie całkowite rozwiązania układu równań:
\(\displaystyle{ x^{2}+9y^{2}+9z^{2}+4u^{2}=1981, \quad x + y + z + u = 54}\).
Zadanie 21 - rozwiązane przez Pinionrzka
Dany jest wielomian \(\displaystyle{ f}\) stopnia \(\displaystyle{ \ge \ 4}\) o współczynnikach całkowitych. Załóżmy, że istnieją cztery różne liczby całkowite \(\displaystyle{ a, \ b, \ c, \ d}\), dla których \(\displaystyle{ f \left( a \right) = f \left( b \right) = f \left( c \right) = f \left( d \right) = 5}\). Pokazać, że nie istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ k}\), dla której \(\displaystyle{ f \left( k \right) = 8}\).
Zadanie 22 - rozwiązane przez Pinionrzka
Każda z liczb \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots , a_n}\) jest równa \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ -1}\). Wiadomo również, że
\(\displaystyle{ a_1a_2a_3a_4 + a_2a_3a_4a_5 + \ldots + a_na_1a_2a_3 = 0}\).
Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\).
Zadanie 23 - rozwiązane przez Vaxa
Rozstrzygnąć, czy istnieje taka liczba całkowita dodatnia \(\displaystyle{ n}\), dla której liczba \(\displaystyle{ 7^{n}-1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6^{n} -1}\).
Zadanie 24 - rozwiązane przez Vaxa
Wyznaczyć wszystkie ciągi \(\displaystyle{ p_1, p_2, \ldots , p_{100}}\) liczb pierwszych, dla których spełnione są podzielności
\(\displaystyle{ p_{1}\mid p^{2}_{2}-1, \ p_{2}\mid p_{3}^{2}-1, \ \ldots , \ p_{100}\mid p_{1}^{2}-1}\).
Zadanie 25 - rozwiązane przez krolikabuksa42
Liczbę \(\displaystyle{ n}\) można przedstawić w postaci sumy kwadratów trzech liczb całkowitych dodatnich. Dowieść, że liczbę \(\displaystyle{ n^2}\) można także przedstawić w postaci sumy kwadratów trzech liczb całkowitych dodatnich.
Zadanie 26 - rozwiązane przez krolikabuksa42
Rozstrzygnąć, czy istnieje takich \(\displaystyle{ 100}\) różnych liczb całkowitych dodatnich,
z których każda jest dzielnikiem sumy pozostałych \(\displaystyle{ 99}\) liczb.
Zadanie 27 - rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Dane są liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a, \ b}\) o następującej własności: Dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ k}\), liczby \(\displaystyle{ ak + 2}\) oraz \(\displaystyle{ bk + 3}\) nie są względnie pierwsze. Udowodnić, że \(\displaystyle{ 3a = 2b}\).
Powodzenia!