Homeomorfizm różnych przestrzeni
: 28 sty 2015, o 14:12
Dzień dobry. Mam problem z następującymi zadaniami:
1. Niech \(\displaystyle{ a_{n}=( -\frac{1}{n} ,0), b_{n}=(-n,0), c_{n}=(0, \frac{1}{n} )}\) dla n=1, 2,... będą punktami \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) i niech \(\displaystyle{ J=\left\{ x \in \RR: 0 < x <1\right\}}\) będzie odcinkiem otwartym na prostej \(\displaystyle{ \RR}\).
\(\displaystyle{ Z_{1}= \bigcup_{n=1}^{ \infty } {a_{n}} \cup \bigcup_{n=1}^{ \infty } ({ \frac{1}{n}} \times J)}\)
\(\displaystyle{ Z_{2}= \bigcup_{n=1}^{\infty}{c_{n}} \cup \bigcup_{n=1}^{\infty}({\frac{1}{n}}\times J)}\)
\(\displaystyle{ Z_{3}= \bigcup_{n=1}^{\infty}{a_{n}} \cup ({0} \times [0,1]) \cup \bigcup_{n=1}^{\infty}({\frac{1}{n}} \times [0,1])}\)
\(\displaystyle{ Z_{4} = \bigcup_{n=1}^{\infty}{b_{n}} \cup \bigcup_{n=1}^{\infty}({n} \times \RR)}\)
Dla każdej pary indeksów \(\displaystyle{ i \neq j}\) wyjaśnić, podając uzasadnienia, czy \(\displaystyle{ Z_{i}}\) jest homeomorficzne z \(\displaystyle{ Z_{j}}\).
Zauważyłam, że przestrzenie \(\displaystyle{ Z_{1}. Z_{2}, Z_{4}}\) są niespójne i niezwarte, a \(\displaystyle{ Z_{3}}\) jest zwarta. Czyli \(\displaystyle{ Z_{3}}\) nie jest homeomorficzna z żadną z pozostałych. Natomiast nie wiem, jak będzie w przypadku innych. Na co należy zwrócić uwagę oprócz zwartości i spójności?
2. Niech \(\displaystyle{ (C[0,1],d_{sup})}\) będzie przestrzenią funkcji ciągłych z odcinka euklidesowego [0,1] w prostą euklidesową \(\displaystyle{ (\RR, d_{e})}\) z metryką supremum. Niech \(\displaystyle{ A_{1}, A_{2},...}\) będą domkniętymi i brzegowymi podzbiorami prostej euklidesowej \(\displaystyle{ \RR, A=\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}}\) i niech \(\displaystyle{ Q=\QQ \cap [0,1]}\). Pokazać, że dla ustalonych \(\displaystyle{ i \in \NN, q \in [0,1]}\) zbiór \(\displaystyle{ D_{i,q}=\left\{ f \in C[0,1]: f(q) \in A_{i}\right\}}\) jest domknięty i brzegowy w \(\displaystyle{ (C[0,1],d_{sup})}\).
Tutaj kompletnie sobie nie radzę, przydałby mi się początek dowodu...
Oprócz tego mam wskazać funkcję ciągłą, różnowartościową, która nie jest homeomorfizmem i pewnie to banalne, ale nie potrafię...
Bardzo proszę o pomoc.
1. Niech \(\displaystyle{ a_{n}=( -\frac{1}{n} ,0), b_{n}=(-n,0), c_{n}=(0, \frac{1}{n} )}\) dla n=1, 2,... będą punktami \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) i niech \(\displaystyle{ J=\left\{ x \in \RR: 0 < x <1\right\}}\) będzie odcinkiem otwartym na prostej \(\displaystyle{ \RR}\).
\(\displaystyle{ Z_{1}= \bigcup_{n=1}^{ \infty } {a_{n}} \cup \bigcup_{n=1}^{ \infty } ({ \frac{1}{n}} \times J)}\)
\(\displaystyle{ Z_{2}= \bigcup_{n=1}^{\infty}{c_{n}} \cup \bigcup_{n=1}^{\infty}({\frac{1}{n}}\times J)}\)
\(\displaystyle{ Z_{3}= \bigcup_{n=1}^{\infty}{a_{n}} \cup ({0} \times [0,1]) \cup \bigcup_{n=1}^{\infty}({\frac{1}{n}} \times [0,1])}\)
\(\displaystyle{ Z_{4} = \bigcup_{n=1}^{\infty}{b_{n}} \cup \bigcup_{n=1}^{\infty}({n} \times \RR)}\)
Dla każdej pary indeksów \(\displaystyle{ i \neq j}\) wyjaśnić, podając uzasadnienia, czy \(\displaystyle{ Z_{i}}\) jest homeomorficzne z \(\displaystyle{ Z_{j}}\).
Zauważyłam, że przestrzenie \(\displaystyle{ Z_{1}. Z_{2}, Z_{4}}\) są niespójne i niezwarte, a \(\displaystyle{ Z_{3}}\) jest zwarta. Czyli \(\displaystyle{ Z_{3}}\) nie jest homeomorficzna z żadną z pozostałych. Natomiast nie wiem, jak będzie w przypadku innych. Na co należy zwrócić uwagę oprócz zwartości i spójności?
2. Niech \(\displaystyle{ (C[0,1],d_{sup})}\) będzie przestrzenią funkcji ciągłych z odcinka euklidesowego [0,1] w prostą euklidesową \(\displaystyle{ (\RR, d_{e})}\) z metryką supremum. Niech \(\displaystyle{ A_{1}, A_{2},...}\) będą domkniętymi i brzegowymi podzbiorami prostej euklidesowej \(\displaystyle{ \RR, A=\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}}\) i niech \(\displaystyle{ Q=\QQ \cap [0,1]}\). Pokazać, że dla ustalonych \(\displaystyle{ i \in \NN, q \in [0,1]}\) zbiór \(\displaystyle{ D_{i,q}=\left\{ f \in C[0,1]: f(q) \in A_{i}\right\}}\) jest domknięty i brzegowy w \(\displaystyle{ (C[0,1],d_{sup})}\).
Tutaj kompletnie sobie nie radzę, przydałby mi się początek dowodu...
Oprócz tego mam wskazać funkcję ciągłą, różnowartościową, która nie jest homeomorfizmem i pewnie to banalne, ale nie potrafię...
Bardzo proszę o pomoc.