Matematyka.pl

Uzasadnij że \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} ^{4} \rightarrow \mathbb{R} ^{4}}\) zadana wzorem:

\(\displaystyle{ f((x,y,z,t))=(x-y+t, y-z+x, z-t+y, t-x+z)}\)

jest funkcją liniową oraz wyznacz \(\displaystyle{ dim(ker(f))}\) oraz \(\displaystyle{ dim(In(f))}\)

Jak się za to zabrać?

Musisz pokazać, że jest liniowa i jednorodna, czyli że:

\(\displaystyle{ f(v_1 + v_2) = f(v_1) + f(v_2)}\) - dla \(\displaystyle{ v_1, v_2\in\mathbb{R}^4}\) - to jest liniowość,

\(\displaystyle{ f(a\cdot v) = a\cdot f(v)}\), gdzie \(\displaystyle{ v\in\mathbb{R}^4, \ a\in\mathbb{R}}\) - to jest jednorodność.

\(\displaystyle{ \ker(f) = \lbrace v\in\mathbb{R}^4\colon f(v) = 0\rbrace}\), \(\displaystyle{ \hbox{im}(f) = \lbrace f(v)\colon v\in\mathbb{R}^4\rbrace}\),

pozdro

\(\displaystyle{ Ker(f)}\) spoko tylko że przeczytałem że \(\displaystyle{ dim f=dim kerf+dim imf}\) a według mnie \(\displaystyle{ dim kerf=2}\) tutaj a \(\displaystyle{ dim f=4}\) (bo \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{4}}\) zgadza się?) więc \(\displaystyle{ imf=2}\) więc coś mi się tutaj kompletnie nie zgadza.