Matematyka.pl

"Wyznaczyć zbiór rozwiązań układu niejednorodnego :

\(\displaystyle{ x+3y+4z+5t+7v=12}\)
\(\displaystyle{ 9x+5y+3z+t+8v=20}\)
\(\displaystyle{ 6x+4y+3z+2t+7v=16}\)
\(\displaystyle{ 8x+6y+5z+4t+11v=24}\)

zgadując jedno rozwiązanie tego układu oraz znajdując fundamentalny układ rozwiązań odpowiadającego mu układu jednorodnego"

Wiem co to układ fundamentalny, układ jednorodny i niejednorodny, ale czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć co dokładnie mam tutaj zrobić ?

To co powiedziano. Bazą przestrzeni rozwiązań układu jednorodnego jest układ fundamentalny. Masz znaleźć choćby jedno rozwiązanie szczególne, choćby metodą odgadnięcia. Widać, że układ spełniają liczby \(\displaystyle{ 1,0,1,0,1}\). Skąd to wiem? Odgadłem, naprawdę!!! No więc zbuduj kombinację dowolną liniową układu fundamentalnego i dodaj wektor \(\displaystyle{ (1,0,1,0,1)}\), a otrzymasz rozwiązanie.

Dla ćwiczenia porównaj otrzymane rozwiązanie z tym, jakie możesz otrzymać metodą Gaussa.

Trafiłem na to zadanie, zrobiłem z Gaussa i wyszło: \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}z+t+v, y=4- \frac{3}{2}z-2t- \frac{5}{2}v}\). Rozbiłem to na coś takiego: \(\displaystyle{ [0,4,0,0,0]+[ \frac{1}{2}z,- \frac{3}{2}z,z,0,0]+[t,-2t,0,t,0]+[ \frac{1}{2}v,- \frac{5}{2}v,0,0,v]}\) i to potem rozbiłem na \(\displaystyle{ [0,4,0,0,0]+z[ \frac{1}{2},- \frac{3}{2},1,0,0]+t[1,-2,0,1,0]+v[ \frac{1}{2},- \frac{5}{2},0,0,1]}\)

Nie wiem czy to się robi w ten sposób, ale to \(\displaystyle{ [0,4,0,0,0]}\) jest dobrym rozwiązaniem, a reszta zeruje, chyba że właśnie dodam ten wektor \(\displaystyle{ (1,0,1,0,1)}\), oczywiście dodanie wektora do tego pierwszego (tzn. \(\displaystyle{ [0,4,0,0,0]}\)) 'nie działa', czy to tak się powinno robić?