Matematyka.pl

Zadanie brzmi:
Po równi nachylonej do poziomu pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) i wysokości \(\displaystyle{ h}\) zaczyna zsuwać się ciało. Po zsunięciu się z równi ciało porusza się po płaszczyźnie poziomej. Oblicz drogę przebytą na płaszczyźnie poziomej przez to ciało do chwili jego zatrzymania się. Współczynnik tarcia na równi \(\displaystyle{ f_{1},}\) a na płaszczyźnie poziomej \(\displaystyle{ f_{2}.}\)

Obrazek sytuacyjny:


Najpierw zajmuję się odcinkiem \(\displaystyle{ S_{1}}\).
\(\displaystyle{ F_{w}=mgsin \alpha - f_{1}mgcos \alpha}\)
\(\displaystyle{ ma=mgsin \alpha - f_{1}mgcos \alpha}\)
Po skróceniu wyjdzie nam przyspieszenie, oznaczę to przyspieszenie jako \(\displaystyle{ a_{1}}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=g\left( sin \alpha - f_{1}cos \alpha \right)}\)

Wzory w ruchu przyspieszonym, nie biorę tutaj prędkości początkowej pod uwagę, bo ciało się zsuwa, także prędkość początkowa jest równa zeru, więc:
\(\displaystyle{ s_{1}= \frac{a_{1}t_{1}^{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ V_{k}= a_{1}t_{1}}\)

Wyliczam moją drogę \(\displaystyle{ s_{1}}\) z wartości trygonometrycznych.
\(\displaystyle{ s_{1}= \frac{h}{sin \alpha }}\)
Lecimy dalej:
\(\displaystyle{ \frac{h}{sin \alpha } = \frac{a_{1}t_{1}^{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_{1}}\) mamy wyliczone wyżej, także przekształcamy ten wzór.
\(\displaystyle{ \frac{2h}{a_{1}sin \alpha } =t_{1}^{2}.}\)
\(\displaystyle{ t_{1}= \sqrt{ \frac{2h}{a_{1}sin \alpha } }}\)
Podstawiamy go do naszego \(\displaystyle{ V_{k}}\) i wychodzi nam, że:
\(\displaystyle{ V_{k}=a_{1} \cdot \sqrt{ \frac{2h}{a_{1}sin \alpha } }}\)
Zajmowaliśmy się cały czas ruchem naszego ciała, który jest na równi.
\(\displaystyle{ V_{k}}\) to prędkość końcowa pierwszego ruchu, jednocześnie jest prędkością początkową ruchu drugiego (już na odcinku poziomym).
Co dalej trzeba zrobić ?
Wiem, że z energii idzie to szybciej zrobić, jednak nie czuję się pewnie w tym temacie i chciałbym uzyskać pomoc jak dokończyć to co zacząłem.

Dalej masz ruch jednostajnie opóźniony, z prędkością początkową ,,Vk' i opóźnieniem ,,a' wynikającym z tarcia .
\(\displaystyle{ mgf=ma \Rightarrow a=fg}\)
Układasz równania ruchu:
\(\displaystyle{ x(t)=V _{k}t- \frac{fgt^2}{2} \\ v(t) =V _{k}-fgt}\)
Ruch odbywa sie aż \(\displaystyle{ v(t)=0}\)

Okej więc tak:
\(\displaystyle{ s_{2}=V_{k}t_{2}- \frac{a_{2}t_{2}^{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ V_{k2}=V_{k}-a_{2}t_{2}}\)
\(\displaystyle{ V_{k2} = 0,}\) bo wózek zatrzymuje się, czyli:
\(\displaystyle{ 0= V_{k}-a_{2}t_{2}}\)
\(\displaystyle{ V_{k}= a_{2}t_{2}}\)

Patrzymy na rysunek i zajmujemy się cały czas klockiem, jak już jest na drodze poziomej.
\(\displaystyle{ ma_{2}=mgf_{2}}\)
\(\displaystyle{ a_{2}=gf_{2}}\)

Wracamy do: \(\displaystyle{ V_{k}= a_{2}t_{2}.}\) Mamy wyżej policzone \(\displaystyle{ a_{2}, \ V_{k}}\)wyliczone w poprzednim poście, czyli możemy policzyć \(\displaystyle{ t_{2}}\)
\(\displaystyle{ t_{2}= \frac{V_{k}}{a_{2}}}\)
Wracamy do \(\displaystyle{ s_{2}=V_{k}t_{2}- \frac{a_{2}t_{2}^{2}}{2}}\).
Reasumując, mamy wszystkie dane wyliczone, aby policzyć naszą drogę \(\displaystyle{ s_{2}}\) , czyli drogę, jaką pokonuje klocek na poziomym odcinku drogi.
Dobrze ?

Tak,
\(\displaystyle{ s _{2} = \frac{V _{k} ^{2} }{2f _{2}g }}\)