Matematyka.pl

1. Czy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f: \overline{\mathbb{D}} \rightarrow \overline{\mathbb{D}}}\) taka, że \(\displaystyle{ f \in \mathcal{O(\mathbb{D})}}\), \(\displaystyle{ f(\mathbb{D}) =\mathbb{D}}\), \(\displaystyle{ f(0)=\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ f(1)=1}\).

\(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) - koło jednostkowe

2. Niech \(\displaystyle{ f}\) należy do funkcji holomorficznych na kole \(\displaystyle{ K(z_{0},r)}\), \(\displaystyle{ f(z_{0})=0}\) oraz \(\displaystyle{ |f(z)| \le M}\), \(\displaystyle{ z \in K(z_{0},r)}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ |f(z)| \le \frac{M}{r}|z-z_{0}|}\)

1. Nie istnieje. Wynika to z lematu Schwarza w wersji hiperbolicznej, która z kolei wynika w kilku słowach z normalnego lematu Schwarza. To znaczy dla dowolnych \(\displaystyle{ x\in\mathbb{D}, y\in\mathbb{D}}\)

\(\displaystyle{ \left|\frac{f(x)-f(y)}{1-\overline{f(x)}f(y)}\right|\le\left|\frac{x-y}{1-\overline xy}\right|}\)

i równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ f}\) jest obrotem. Funkcja z zadania nie jest obrotem, wystarczy podstawić \(\displaystyle{ x=1, y=\frac 12}\).
2. Drugie zadanie to standardowy fakt dowodzony w większości książek do analizy zespolonej.