Matematyka.pl

mamy wielomian:

\(\displaystyle{ x^{2n}+1= \prod_{i=1}^{n}w_{i}(x) , st(w_{i}(x))=2}\)

ile wynosi suma współczynników przy wyrazie \(\displaystyle{ x}\) wielomianów: \(\displaystyle{ w_{i}(x)}\)

Chyba nieprecyzyjnie sformułowane zadanie.
\(\displaystyle{ x^4+1=(x^2+\sqrt 2x+1)(x^2-\sqrt 2x+1)}\)
- suma współczynników wynosi 0, ale
\(\displaystyle{ x^4+1=\left(\frac 12x^2+\frac 12\sqrt 2x+\frac 12\right)(2x^2-2\sqrt 2x+2)}\)
-suma współczynników \(\displaystyle{ -\frac 32\sqrt 2}\).

To zamieńmy sumę współczynników przy wyrazie \(\displaystyle{ x}\) wielomianu \(\displaystyle{ w_{i}\left(x\right)}\), na sumę współczynników przy wyrazie \(\displaystyle{ x}\) dzielonych przez współczynnik przy wyrazie \(\displaystyle{ x^{2}}\) wielomianu \(\displaystyle{ w_{i}\left(x\right)}\) i wtedy już zawsze będziemy meili zero (nawet jak dopuścimy zespolone współczynniki), bo to zwykła suma pierwiastków będzie.

Tak tak masz rację ja miałem na myśli te wielomiany, u których współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\)
wynosi jeden tak mi się wydawało to oczywiste, że o tym nie napisałem. A z tym zerem masz rację
tyle powinno zawsze wyjść!