Własności indeksu punktu względem drogi
: 23 sty 2015, o 15:23
Witam,
mam problem ze zrozumieniem dowodu z książki W.Rudin "Analiza rzeczywista i zespolona"
zamieszczam tutaj fragment dowodu:
Twierdzenie. Załóżmy, że \(\displaystyle{ \gamma}\) jest drogą zamkniętą, a \(\displaystyle{ \Omega}\) dopełnieniem zbioru \(\displaystyle{ \gamma^*}\) i przyjmijmy
\(\displaystyle{ Ind_{\gamma}(z)= \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{d \zeta}{\zeta - z} (z \in \Omega)}\)
Wtedy \(\displaystyle{ Ind_{\gamma}(z)}\) jest funkcją o wartościach całkowitych na \(\displaystyle{ \Omega}\), stałą na każdej składowej zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\) i równą zeru na składowej nieograniczonej tego zbioru.
Dowód. Założmy, że \(\displaystyle{ \left[ \alpha, \beta\right]}\) jest przedziałem parametru drogi
\(\displaystyle{ \gamma}\) i ustalmy punkt \(\displaystyle{ z \in \Omega}\), wtedy:
\(\displaystyle{ Ind_{\gamma}(z) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\alpha}^{\beta} \frac{\gamma '(s)}{\gamma(s)-z} ds}\).
Teza, że \(\displaystyle{ Ind_{\gamma}(z)}\) jest całkowite jest równoważne z tezą, że \(\displaystyle{ \phi(\beta)=1}\), gdzie \(\displaystyle{ \phi(t)= \exp\left( \int_{\alpha}^{t} \frac{\gamma '(s)}{\gamma(s)-z} ds \right)}\). Różniczkując to widzimy, że równość:
\(\displaystyle{ \frac{\phi'(t)}{\phi(t)} = \frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-z}}\)
zachodzi wszędzie z wyjątkiem zbioru co najwyżej skończonego \(\displaystyle{ S}\), gdzie \(\displaystyle{ \gamma}\) nie jest różniczkowalna. Zatem \(\displaystyle{ \phi /(\gamma-z)}\) jest funkcją ciągłą na \(\displaystyle{ \left[ \alpha, \beta\right] - S}\). Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ S}\) jest skończony, więc funkcja \(\displaystyle{ \phi /(\gamma-z)}\) jest stała na \(\displaystyle{ \left[ \alpha , \beta \right]}\) ...
Nie rozumiem ostatnich dwóch zdań. Zwłaszcza tego, że \(\displaystyle{ \phi /(\gamma-z)}\) jest stała. Próbowałem tak:
\(\displaystyle{ \log( \phi(t))' = \frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-z} = \log( \gamma(t) - z)'}\) i z tego nawet coś wychodzi.. ale wolałbym nie korzystać z logarytmu zespolonego i jego własności...
mam problem ze zrozumieniem dowodu z książki W.Rudin "Analiza rzeczywista i zespolona"
zamieszczam tutaj fragment dowodu:
Twierdzenie. Załóżmy, że \(\displaystyle{ \gamma}\) jest drogą zamkniętą, a \(\displaystyle{ \Omega}\) dopełnieniem zbioru \(\displaystyle{ \gamma^*}\) i przyjmijmy
\(\displaystyle{ Ind_{\gamma}(z)= \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{d \zeta}{\zeta - z} (z \in \Omega)}\)
Wtedy \(\displaystyle{ Ind_{\gamma}(z)}\) jest funkcją o wartościach całkowitych na \(\displaystyle{ \Omega}\), stałą na każdej składowej zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\) i równą zeru na składowej nieograniczonej tego zbioru.
Dowód. Założmy, że \(\displaystyle{ \left[ \alpha, \beta\right]}\) jest przedziałem parametru drogi
\(\displaystyle{ \gamma}\) i ustalmy punkt \(\displaystyle{ z \in \Omega}\), wtedy:
\(\displaystyle{ Ind_{\gamma}(z) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\alpha}^{\beta} \frac{\gamma '(s)}{\gamma(s)-z} ds}\).
Teza, że \(\displaystyle{ Ind_{\gamma}(z)}\) jest całkowite jest równoważne z tezą, że \(\displaystyle{ \phi(\beta)=1}\), gdzie \(\displaystyle{ \phi(t)= \exp\left( \int_{\alpha}^{t} \frac{\gamma '(s)}{\gamma(s)-z} ds \right)}\). Różniczkując to widzimy, że równość:
\(\displaystyle{ \frac{\phi'(t)}{\phi(t)} = \frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-z}}\)
zachodzi wszędzie z wyjątkiem zbioru co najwyżej skończonego \(\displaystyle{ S}\), gdzie \(\displaystyle{ \gamma}\) nie jest różniczkowalna. Zatem \(\displaystyle{ \phi /(\gamma-z)}\) jest funkcją ciągłą na \(\displaystyle{ \left[ \alpha, \beta\right] - S}\). Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ S}\) jest skończony, więc funkcja \(\displaystyle{ \phi /(\gamma-z)}\) jest stała na \(\displaystyle{ \left[ \alpha , \beta \right]}\) ...
Nie rozumiem ostatnich dwóch zdań. Zwłaszcza tego, że \(\displaystyle{ \phi /(\gamma-z)}\) jest stała. Próbowałem tak:
\(\displaystyle{ \log( \phi(t))' = \frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-z} = \log( \gamma(t) - z)'}\) i z tego nawet coś wychodzi.. ale wolałbym nie korzystać z logarytmu zespolonego i jego własności...