Matematyka.pl

Witam, mam do policzenia taką oto całkę:

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x^{4}+64}dx}\)

Rozpisałam ją do postaci

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{(x^{2}-4x+8)(x^{2}+4x+8)}dx}\)

i zgłupiałam. Jak to dalej rozwiązać?

Z góry dziękuję

Może mała podpowiedź:
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x^{4}+64}dx}\)

Postaraj się sprowadzić do postaći:
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{u^2+1}dx}\)
wyciągnąć jakąś stałą przed całke i przeskoczyć na funkcje arkus.Jak się nie uda to pisz;)

\(\displaystyle{ \frac{1}{x^4 + 64} = \frac{1}{64}\left( \frac{4-x}{x^2 - 4x + 8} + \frac{4+x}{x^2 + 4x + 8}\right)}\)
Dla przykładu scałkuję pierwszy ułamek, z drugim należy postąpić analogicznie
\(\displaystyle{ \int \frac{4-x}{x^2 - 4x + 8} dx = - t \frac{x-4}{x^2 - 4x + 8} dx = - \frac{1}{2} t \frac{2x-4 - 4}{x^2 - 4x + 8} dx =\\
= - \frac{1}{2} t \frac{2x-4}{x^2 - 4x + 8} dx + 2 t \frac{dx}{(x - 2)^2 + 4} = - \frac{1}{2} \ln |x^2 - 4x + 8| + I_2}\)
Aby obliczyć drugą całkę zastosujemy podstawienie
\(\displaystyle{ x-2 = 2t dx = 2 dt\\
I_2 = 4 t \frac{dt}{4t^2 + 4} = t \frac{dt}{t^2 + 1} = \arctan{\frac{x-2}{2}}}\)
Ostatecznie otrzymujemy
\(\displaystyle{ \int \frac{4-x}{x^2 - 4x + 8} dx = \arctan{\frac{x-2}{2}} - \frac{1}{2} \ln |x^2 - 4x + 8| + C}\)
Pozostało obliczyć jeszcze jedną całkę, ale myślę, że sobie poradzisz