Matematyka.pl

Czy ma dzielniki zera pierścień macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&b\\-b&a\end{array}\right]}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b \in\RR}\) względem zwykłego dodawania i mnożenia macierzy?

Odp:
weźmy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&b\\-b&a\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}p&q\\-q&p\end{array}\right], a,b,p,q \in \RR}\)
aby iloczyn tych macierzy był macierzą zerową muszą zachodzić równości:
\(\displaystyle{ \begin{cases} ap-bq=0 \\ aq+bp=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}p&q\\-q&p\end{array}\right]\neq 0 \Leftrightarrow}\) wyznacznik pierwszej\(\displaystyle{ = a^2+b^2=0}\)

I tu się zatrzymałam - co dalej? czy to już koniec?

Nie ma nietrywialnych dzielników zera, bo:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}
a&b\\-b&a
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
a&-b\\b&a
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
a^2+b^2&0\\0&a^2+b^2
\end{pmatrix}=(a^2+b^2)
\begin{pmatrix}
1&0\\0&1
\end{pmatrix}}\)
jeśli więc przynajmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ a,b}\) jest niezerowa, to dana macierz jest odwracalna i nie jest dzielnikiem zera.-- 21 sty 2015, o 16:19 --Twoje rozumowanie jest ok.
Otrzymany przez ciebie układ równań, jako zmienne rozważamy \(\displaystyle{ p,q}\), ma nietrywialne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy macierz \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}\) ma nietrywialne jądro (t.j. odwzorowanie odpowiadające tej macierzy), czyli wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik \(\displaystyle{ a^2+b^2}\) jest równy zero. Prawie to samo.

Może się czepiam, ale pokazałeś, że nie jest nilpotentna, a nie, że nie jest dzielnikiem zera (w pierwszej połowie posta).

Pokazał, że macierz jest odwracalna, a z tego łatwo wynika, że nie jest dzielnikiem zera.

Dasio11 pisze: 30 sty 2015, o 20:19 macierz jest odwracalna, a z tego łatwo wynika, że nie jest dzielnikiem zera.

Jak to wykazać?

Dodano po 10 minutach 4 sekundach:
Wydaje mi się, że wiem jak to zrobić. Zapisujemy \(\displaystyle{ A A^{-1} = I}\) oraz \(\displaystyle{ AB = 0}\). Wtedy \(\displaystyle{ A(A^{-1} - B) = I}\), czyli \(\displaystyle{ A^{-1} - B = A^{-1}}\) (bo \(\displaystyle{ A^{-1}}\) jest wyznaczony jednoznacznie). Stąd \(\displaystyle{ B=0}\).