Matematyka.pl

Prosiłbym o jakieś wskazówki, jak rozwiązać tą całkę:
\(\displaystyle{ \int \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt[3]{x^{2}}- \sqrt[4]{x} }dx}\)

\(\displaystyle{ x=t^{12}}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt[3]{x^{2}}- \sqrt[4]{x} }dx\\
\mbox{d}x =12t^{11} \mbox{d}t\\\
12\int{\frac{t^{17}}{t^{8}-t^{3}} \mbox{d}t}=12\int{\frac{t^{14}}{t^{5}-1} \mbox{d}t}\\
u=t^{5}-1\\
\mbox{d}u=5t^{4} \mbox{d}t\\
\frac{1}{5}\mbox{d}u=t^{4} \mbox{d}t\\
\frac{12}{5}\int{\frac{\left( u+1\right)^2 }{u} \mbox{d}u}\\
=\frac{12}{5}\left( \int{\left( u+2\right) \mbox{d}u}+\int{ \frac{ \mbox{d}u}{u} }\right)\\}\)

No i ładnie, rozwiązałem, tylko mam pytanie: skąd wiadomo, że w liczniku ma być \(\displaystyle{ (u+1)^{2}}\)? Jest na to jakaś ogólna zasada?

Po pierwszym podstawieniu i skróceniu masz w liczniku \(\displaystyle{ 12t^{14}}\)

W kolejnym podstawieniu skoro \(\displaystyle{ u=t^5-1}\)
to \(\displaystyle{ t^5=u+1}\) co zatem idzie \(\displaystyle{ t^{10}=\left( u+1\right)^2}\)

Jeśli zróżniczkujesz podstawienie stronami względem t do otrzymasz

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}t}=5t^4\\
\mbox{d}u=5t^4 \mbox{d}t\\}\)