Równanie różniczkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
sosik

Równanie różniczkowe

Post autor: sosik » 2 lut 2005, o 13:42

Roziązać równanie różniczkowe: \(y''(x)+4y'(x)+9y(x)=2e^{-x}\) dla: \(y(0)=1, y'(0)=1\) Za pomoc w rozwiązaniu zadania z góry serdecznie dziękuję Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 12 maja 2018, o 00:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
g
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1554
Rejestracja: 21 sie 2004, o 16:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Równanie różniczkowe

Post autor: g » 2 lut 2005, o 14:39

latwo zauwazyc, ze \(y = {1 \over 3}e^{-x}\) spelnia warunki zadania :)

maadda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 2 lut 2005, o 15:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: :)

Równanie różniczkowe

Post autor: maadda » 2 lut 2005, o 15:33

No dobra ale co zrobic zeby do tego doprowadzic?

Awatar użytkownika
g
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1554
Rejestracja: 21 sie 2004, o 16:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Równanie różniczkowe

Post autor: g » 2 lut 2005, o 17:48

podstawilem do wzoru: mamy rownanie postaci \(a_2 y'' + a_1 y' + a_0 y = Me^{kx}\) rownanie charakterystyczne: \(P(\lambda) = a_2 \lambda^2 + a_1 \lambda + a_0 = 0\) pierwiatkiem szczegolnym rownania jest \(y = {Me^{kx} \over P(k)}\) po wszystkim.

chlip
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 152
Rejestracja: 6 paź 2004, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zadupiów

Równanie różniczkowe

Post autor: chlip » 3 lut 2005, o 00:20

latwo zauwazyc, ze \(y = {1 \over 3}e^{-x}\) spelnia warunki zadania
\(y(0) = {1 \over 3}e^{0} = {1 \over 3} 1 ={1 \over 3}\) jak widać podana funkcja nie spełnia warunków zadania

Pikaczu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 2 paź 2004, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakau

Równanie różniczkowe

Post autor: Pikaczu » 3 lut 2005, o 11:50

Piękny wzór znalazłeś g, ale nam trzeba rozwiązać problem brzegowy a nie znaleźć rozwiązanie szczególne. Możemy to robić na 2 sposoby: 1. zgadnąc jakieś rozwiązanie problemu \((*) y''(x)+4y'(x)+9y(x)=2e^{-x}\) a następnie rozwiązać rówmanie jednorodne \((**) y''(x)+4y'(x)+9y(x)=0\) rozwązaniem będzie suma rozwązań \((*)\) i \((**)\) zależne od stałych które wylichymy z warunków początkowych. 2. rozwiązyjemy \((**)\) i otrzymujemy dwa liniowo niezależne rozwiązania \(y_1(x)\) oraz \(y_2(x)\) czyli \((***)y(x)=c_1y(x)+c_2y(x)\) teraz uznienniamy \(c_1\) oraz \(c_2\) następująco: \(c_1=c_1(x)\), \(c_2=c_2(x)\) i rozwiązujemy następujący układ: \(\{\begin{eqnarray} c_1'(x)y_1(x)+c_2'(x)y_2(x)&=&0 \\ c_1'(x)y_1'(x)+c_2'(x)y_2'(x)&=&2e^{-x}\end{eqnarray}\) Teraz pozostaje jedynie wyliczanie \(c_1\) oraz \(c_2\) (już zależne tylko od "zwykłych" stałych) podstawienie do \((***)\) i wyliczenie tych "zwykłych" stałych z warunków początkowych

Awatar użytkownika
g
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1554
Rejestracja: 21 sie 2004, o 16:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Równanie różniczkowe

Post autor: g » 3 lut 2005, o 20:30

racja - gowniarz samouk musi sie jeszcze wiele dowiedziec :) dzieki za uczenie mnie :)

ODPOWIEDZ