Matematyka.pl

Hej. Jestem w trakcie nauki materiału z całkowania funkcji zespolonych jednak już na początku napotkałem problem. Do obliczenia mam całkę:

\(\displaystyle{ \int\limits_{L}^{ } Im(z) dz}\)

gdzie L jest odcinkiem o końcach \(\displaystyle{ z_{1} = i, z_{2} = 2+3i}\)

Bardzo proszę o wskazówki. Przydałyby się również jakieś materiały dotyczące całkowania f. zespolonych.

parametryzacja odcinka sie klania

Ok, dzięki za wskazówkę. Oto moje rozwiązanie, proszę o weryfikację:

parametryzacja odcinka L:
\(\displaystyle{ z(t) = tz_{2} + (1-t)z_{1} = t(2+3i)+(1-t)i = 2t + 3it + i - it = 2t + (1+2t)i, t \in [0,1]}\)

za wzoru:
\(\displaystyle{ \int\limits_{\overrightarrow{AB}} f(z)dz = \int\limits_{\alpha}^{\beta} f(z(t))z'(t)dt}\)

gdzie:
\(\displaystyle{ t \in [\alpha ,\beta ]}\)

liczymy całkę:
\(\displaystyle{ z'(t) = 2 + 2i}\)
\(\displaystyle{ \int\limits_{L}^{ } Im(z) dz = \int\limits_{0}^{1} Im(2t + (1+2t)i) (2+2i) dt = (2+2i) \int\limits_{0}^{1} (1+2t) dt = (2+2i) \left [ \int\limits_{0}^{1} dt + 2 \int\limits_{0}^{1} t dt \right ] = (2+2i) (1+1) =4+4i}\)