Matematyka.pl

Witam

Proszę o pomoc z trzema zadaniami z przestrzeni liniowej. Byłabym wdzięczna, gdybyście odpowiedzi zawarli wraz z tłumaczeniem jak do tego doszliście gdyż również chciałabym zrozumieć to zagadnienie a nie przepisać wyniki na "pałę"

Zad.1
Podane zbiory wektorów uzupełnić do baz wskazanych przestrzeni liniowych.
\(\displaystyle{ \vec{a} = (2,1,0)}\)
\(\displaystyle{ \vec{b} = (1,1,1)}\)

Zad.2
Wyznaczyć generatory podanych przestrzeni liniowych.
\(\displaystyle{ V=\{\left(2r+s+t, t-u, r+3s+u, s+u, t-u\right): r,s,t,u \in \RR\}}\)

Zad.3
Wskazać bazy i określić wymiary podanych przestrzeni liniowych.
\(\displaystyle{ V=\{\left(x+y+z, x-y, x-z, y-z\right): x,y,z \in \RR\}}\)

Z góry dziękuję za pomoc

Z1

Wiemy, że baza to maksymalny zbiór wektorów liniowo niezależnych. Przestrzeń \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) jest trójwymiarowa i składa się z trzech wektorów (zawsze można wskazać bazę kanoniczną). Zatem każda baza tej przestrzeni będzie się składać z trzech wektorów. Dane wektory \(\displaystyle{ a,b}\) są liniowo niezależne, więc wystarczy dorzucić do puli jeszcze jeden wektor liniowo niezależny. A to proste. weź np. wektor \(\displaystyle{ \left( 0,1,0\right)}\) i sprawdź kombinację liniową:

\(\displaystyle{ a\left( 2,1,0\right) + b\left( 1,1,1\right) + c\left(0,1,0 \right) = 0}\)

Jeżeli jedyne \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniające równość to: \(\displaystyle{ a=b=c=0}\) to wtedy ten dodany wektor uzupełnia nam zbiór do bazy.

Z2 i Z3

Zacznij od rozpisania wektorów z przestrzeni na kombinację liniową.

Kacperdev pisze:Z1

Wiemy, że baza to maksymalny zbiór wektorów liniowo niezależnych. Przestrzeń \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) jest trójwymiarowa i składa się z trzech wektorów (zawsze można wskazać bazę kanoniczną). Zatem każda baza tej przestrzeni będzie się składać z trzech wektorów. Dane wektory \(\displaystyle{ a,b}\) są liniowo niezależne, więc wystarczy dorzucić do puli jeszcze jeden wektor liniowo niezależny. A to proste. weź np. wektor \(\displaystyle{ \left( 0,1,0\right)}\) i sprawdź kombinację liniową:

\(\displaystyle{ a\left( 2,1,0\right) + b\left( 1,1,1\right) + c\left(0,1,0 \right) = 0}\)

Jeżeli jedyne \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniające równość to: \(\displaystyle{ a=b=c=0}\) to wtedy ten dodany wektor uzupełnia nam zbiór do bazy.

Z2 i Z3

Zacznij od rozpisania wektorów z przestrzeni na kombinację liniową.

No tak, teraz to się wydaje całkiem oczywiste

Apropo drugiego, coś ruszyłam i wyszły mi takie generatory:
\(\displaystyle{ (2,0,1,0,0)}\)
\(\displaystyle{ (1,0,3,1,0)}\)
\(\displaystyle{ (-1,1,0,0,1)}\)
\(\displaystyle{ (0,-1,1,1,-1)}\)
Tak powinno być?

Tak, o to chodzi.

Kacperdev pisze:Tak, o to chodzi.

Nie rozumiem tylko czym w takim razie różni się wyznaczanie bazy od wyznaczania generatorów.

Zbiór generatorów nie musi być liniowo niezależny. Baza już musi. Popatrz na def. Zbiór generatorów to MINIMALNY zbiór generujący przestrzeń. Czasami coś można wyrzucić ze zbioru generatorów i wciąz pozostanie zbiorem generatorów.

Kacperdev pisze:Zbiór generatorów nie musi być liniowo niezależny. Baza już musi. Popatrz na def. Zbiór generatorów to MINIMALNY zbiór generujący przestrzeń. Czasami coś można wyrzucić ze zbioru generatorów i wciąz pozostanie zbiorem generatorów.

Czy w takim razie w 3 bazą będą wektory:
\(\displaystyle{ (1,1,1,0)}\)
\(\displaystyle{ (1,-1,0,1)}\)
\(\displaystyle{ (1,0,-1,-1)}\)

A ich wymiar wynosić będzie:
\(\displaystyle{ \dim V=3}\)
bo są 3 generatory?

A sprawdziłaś liniową niezależność tych wektorów? W tym wypadku to prawda. Te trzy wektory generujące przestrzeń są liniowo niezależne, zatem tworzą bazę.

Wymiar przestrzeni zależy od liczby wektorów bazowych a nie od zbioru generatorów.

Ale tak, \(\displaystyle{ \dim V =3}\)

[quote="Kacperdev]Zbiór generatorów nie musi być liniowo niezależny. Baza już musi. Popatrz na def. Zbiór generatorów to MINIMALNY zbiór generujący przestrzeń. Czasami coś można wyrzucić ze zbioru generatorów i wciąz pozostanie zbiorem generatorów.[/quote]

Skoro jest minimalny, to chyba jednak musi być liniowo niezależny

Kacperdev pisze:A sprawdziłaś liniową niezależność tych wektorów? W tym wypadku to prawda. Te trzy wektory generujące przestrzeń są liniowo niezależne, zatem tworzą bazę.

Wymiar przestrzeni zależy od liczby wektorów bazowych a nie od zbioru generatorów.

Ale tak, \(\displaystyle{ \dim V =3}\)

Czyli jeśli dwa z trzech wektorów byłyby niezależne liniowo a jeden nie, to ten jeden wyrzucamy i te 2 tworzą bazę? A co jeśli te wektory wgl nie byłyby liniowo niezależne w żadnym z przypadków? Nie mamy bazy?

Każdy ukłąd wektorów liniowo niezależnych można uzupełnić do bazy

A co jeśli te wektory wgl nie byłyby liniowo niezależne w żadnym z przypadków? Nie mamy bazy?

Pomyśl przez chwilę. To niemożliwe, bo każdy niezerowy wektor jest niezależny ze sobą:

Niech \(\displaystyle{ v \neq 0}\), wtedy: \(\displaystyle{ av=0 \Leftrightarrow a=0}\)

Poza tym każda przestrzeń liniowa ma bazę. (pewnik wyboru)

Kacperdev pisze:

A co jeśli te wektory wgl nie byłyby liniowo niezależne w żadnym z przypadków? Nie mamy bazy?

Pomyśl przez chwilę. To niemożliwe, bo każdy niezerowy wektor jest niezależny ze sobą:

Niech \(\displaystyle{ v \neq 0}\), wtedy: \(\displaystyle{ av=0 \Leftrightarrow a=0}\)

Poza tym każda przestrzeń liniowa ma bazę. (pewnik wyboru)

Dziękuję serdecznie za pomoc

Czy mógłby ktoś rozpisać nieco zadanie 2?

Wiem że pewnie to łatwe ale nie wychodzi mi wynik taki jak koleżance.