Matematyka.pl

Niech
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\-1&0&1\\0&-1&1\end{array}\right]}\)
będzie macierzą przejścia z bazy \(\displaystyle{ B}\) do bazy kanonicznej w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\)
Znajdź bazę \(\displaystyle{ B}\). Korzystając z macierzy \(\displaystyle{ P}\) wyznacz współrzędne wektora \(\displaystyle{ u=[1,1,1]_{B}}\) w bazie kanonicznej.

Z pierwszą częścią zadania nie mam problemu, wyznaczam macierz odwrotną, czyli przejścia z bazy kanonicznej do \(\displaystyle{ B}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ B={(1,1,1),(0,1,1),(1,0,1)}}\)
Ale nie wiem jak wyznaczyć współrzędne tego wektora w bazie kanonicznej.

W bazie kanonicznej:

\(\displaystyle{ (1, 1, 1)_B = 1\cdot (1, 1, 1) + 1\cdot (0, 1, 1) + 1\cdot (1, 0, 1)}\).

Gdzie wektor po prawej stronie (ta suma), to wektor zapisany we współrzędnych kanonicznych, pozdro.

A te jedynki stojące przy wektorach skąd się wzięły?

To są kolejne współrzędne wektora \(\displaystyle{ u}\) w bazie \(\displaystyle{ B}\).

Ale przecież baza kanoniczna to \(\displaystyle{ {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}}\), więc dlaczego mnożymy przez wektory z bazy \(\displaystyle{ B}\)?

No to po kolei.

Jeśli mam wektor, to mogę jego współrzędne zapisać w różnych bazach. Np mam bazę \(\displaystyle{ B_1 = \lbrace e_1, e_2, e_3\rbrace}\) i bazę \(\displaystyle{ B_2 = \rbrace e^{\prime}_1, e^{\prime}_2, e^{\prime}_3\rbrace}\). Jeśli wektor \(\displaystyle{ x}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3}\) w bazie \(\displaystyle{ B_1}\), to znaczy, że:

\(\displaystyle{ (*) \ \ \ x = x_1\cdot e_1 + x_2\cdot e_2 + x_3\cdot e_3}\).
Teraz jeśli chcemy zapisać ten wektor w bazie \(\displaystyle{ B_2}\), to wystarczy, że każdy z wektorów \(\displaystyle{ e_1, e_2, e_3}\) zapiszemy we współrzędnych z bazy \(\displaystyle{ B_2}\) i wstawimy do równania \(\displaystyle{ (*)}\).

Podstaw za \(\displaystyle{ B_1}\) Twoją bazę \(\displaystyle{ B}\), a za \(\displaystyle{ B_2}\) bazę kanoniczną.

Teraz ok?-- 13 sty 2015, o 19:22 --

rafcio_100 pisze: dlaczego mnożymy przez wektory z bazy \(\displaystyle{ B}\)?

Nie mnożymy przez wektory. Nie ma czegoś takiego, jak mnożenie przez wektor. To wektor można lewostronnie pomnożyć przez skalar.