Matematyka.pl

Znajdź odwzorowania liniowe \(\displaystyle{ f : U \rightarrow V}\) , jeżeli:
\(\displaystyle{ U = \mathbb{R}^{2}, V = \mathbb{R}^{3}, f(2,1) = (3,1,-1), f(-1,0) = (1,-1,0)}\)

Dla bazy kanonicznej potrafię rozwiązać to zadanie, ale nie wiem jak zacząć w takim przypadku.

Wyznacz \(\displaystyle{ a,b}\) z zależności \(\displaystyle{ (1,0)=a(2,1)+b(-1,0)}\), a następnie wykorzystaj wraz z liniowością \(\displaystyle{ f}\) do wyznaczenia \(\displaystyle{ f(1,0)}\). Podobnie \(\displaystyle{ f(0,1)}\).

Zapisałem tak:
\(\displaystyle{ (x,y) = a(2,1)+b(-1,0) = (2a-b,a)}\)
\(\displaystyle{ y = a}\)
\(\displaystyle{ x = 2y-b}\)
\(\displaystyle{ b = 2y-x}\)
\(\displaystyle{ f(x,y,z) = f(y(2,1) + (2y-x)(-1,0)) = y \cdot f(2,1)+(2y-x) \cdot f(-1,0) = y(3,1,-1)+(2y-x) \cdot (1,-1,0) = (-x+5y,x-y,-y)}\)

Wzór \(\displaystyle{ f}\) jest w porządku, tyle że niepotrzebnie zapisałeś trzecią zmienną \(\displaystyle{ z}\).