Matematyka.pl

Cyfry rozwinięcia dziesiętnego liczb 2^1997 oraz 5^1997 wypisa jedna za drugą. Oblicz, ile napisano cyfr. Będę wdzięczny za każdą pomoc.

Może dałoby się to empirycznie...
Zauważyć musimy periodyczność przy początkowych potęgach, a potem to uogólnić.
\(\displaystyle{ 2^{0}=1 \ 2^{1}=2 \ 2^{2}=4 \ 2^{3}=8 \\ 2^{4}=16 \ 2^{5}=32 \ 2^{6}=64 \\ 2^{7}=128 \ 2^{8}=256 \ 2^{9}=512 \\ 2^{10}=1024 \ 2^{11}=2048 \ 2^{12}=4096 \ 2^{13}=8192 \\ 2^{14}=16382 \ 2^{15}=32764 \ 2^{16}=65528}\)

Długo tak można, ale widać już pewną okresowość:
dla pierwszych czterech potęg mamy jedną cyfrę, potem dla dalszych trzech mamy już liczby dwucyfrowe, a dla następnych trzech mamy liczby trzycyfrowe. I teraz znowuż dla czterech mamy kolejną cyfrę, a potem znowuż trzech... Sądzę więc, że taki będzie okres tego zjawiska. Podsumowując: co dziesięć kolejnych wartości wykładników dochodzą trzy cyfry do zapisu tej liczby.

Weźmy się więc za ten problem. Mamy \(\displaystyle{ 2^{1997}}\). Najbliższą wielokrotnością (oczywiście szukamy "w dół") jest 1990. Dzielimy więc 1990 przez 10 i mamy 199, a więc tyle razy przybyło nam po trzy cyfry, pomnóżmy więc 199*3 i otrzymujemy 597. Teraz pozostaje nam tylko ta siódemka, której przedtem się pozbyliśmy, ale nic to. Analizujemy nasz ciąg i widzimy, iż przy siódmej potędze mamy dwie cyfry więcej i dodajemy to do naszego wyniku, otrzymując jakże piękną liczbę 599. Raczej to jest odpowiedzią, możliwe błędy mogą wyniknąć tylko w przypadku, kiedy to nie będzie prawo, kiedy będą jakieś odstępstwa od tej "mojej" reguły.

Przypadek piątki zrób podobnie.

Rogal, nie mozna zalozyc, ze dalej jest taka sama regularnosc, chociaz byles dosyc blisko, bo 2^1997 ma 602 cyfry.

5^1997 ma np k cyfr. co to znaczy? ze jest wieksza(lub rowna) 10..0 = 10k (1 i k-1 zer), a mniejsza od 10..0 = 10k+1 (jedynka i k zer)
\(\displaystyle{ 10^{k-1} q 5^{1997} q \log{5^{1997}} < k}\)
z wlasnosci logarytmu:
\(\displaystyle{ k - 1 q 1997\cdot\log5 < k}\)
logarytm z 5 bierzemy z tablic albo madrego kalkulatora, mnozymy przez 1997 i bierzemy odpowiednia liczbe calkowita k - mamy liczbe cyfr liczby 5^1997

A liczba o ktora sie pytaja w zadaniu jest rowna:
\(\displaystyle{ 10^{k-1}\cdot2^{1997}+5^{1997}}\) (gdzie k jest wyliczone poprzednim sposobem)

Wiedziałem, że nie jest to dokładny sposób. Nie podobało mi się to 1024 i czułem, iż gdzieś stracę dokładność. To tylko trzy cyfry różnicy, a bez używania logarytmów, tablic i przybliżeń. Mogę być z siebie dumny .

sorry ale ja nie znam logarytwom

Wystarczy wiedziec, ze \(\displaystyle{ \log_{10}{a^n} = n\cdot\log_{10}{a}}\) oraz \(\displaystyle{ \log_{10}{10} = 1}\)
\(\displaystyle{ \log_{10}{2} = 0,301029996}\)
\(\displaystyle{ \log_{10}{5} = 0,698970004}\)

takie trywialne zadanie a wy tu logarytmy cuda wianki
do rzezcy:
niech:
\(\displaystyle{ 10^a}\)

Nie chcę nic mówić, ale tam pytanie było, ile każda z tych liczb ma cyfr, a nie obie razem, zdaje tak coś mi się . Przynajmniej ja to tak odebrałem...

lookasiu87 pisze:Cyfry rozwinięcia dziesiętnego liczb 2^1997 oraz 5^1997 wypisa jedna za drugą. Oblicz, ile napisano cyfr. Będę wdzięczny za każdą pomoc.

no i wsyztko jasne przeczytaj jeszce raz,

Racja, źle to zinterpretowałem.