Twierdzenie o operatorze otwartym

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
annamat_92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 11 sty 2015, o 19:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań

Twierdzenie o operatorze otwartym

Post autor: annamat_92 » 11 sty 2015, o 20:30

Witam,
mam prośbę, czy ktoś mógłby mi wytłumaczył te dwa zadania. gdyż na zajęciach na pewno źle to zostało rozwiązane, albo po prostu pewnych przejść nie rozumiem, a może jest łatwiejsze rozwiązanie

1. Udowodnij, że jeżeli przestrzeń Banacha \(\displaystyle{ X}\) jest suma prosta swoich podprzestrzeni domkniętych
\(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ M}\): \(\displaystyle{ X = L\oplus M}\), to projekcje wyznaczone przez ten rozkład są ciągłe.

2. Jeżeli podprzestrzeń domknięta \(\displaystyle{ L}\) w \(\displaystyle{ C[a, b]}\) składa sie z funkcji mających ciągłą pochodną,
to ma skończony wymiar. (Czy założenie ciągłosci pochodnej jest tu istotne?)

Awatar użytkownika
Spektralny
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3968
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 928 razy

Twierdzenie o operatorze otwartym

Post autor: Spektralny » 12 sty 2015, o 18:10

Co do zadania 1. Rozważ nową normę na \(\displaystyle{ X}\) daną wzorem

\(\displaystyle{ \|x+y\|^\prime = \|x\|+\|y\|}\) gdzie \(\displaystyle{ x\in L,y\in M}\).

Twierdzę, że normy te są równoważne. Rzeczywiście, jest jasne, że \(\displaystyle{ \|w\|\leqslant \|w\|^\prime}\). Oznacza to, że identyczność

\(\displaystyle{ I_X\colon (X, \|\cdot\|^\prime) \to (X, \|\cdot \|)}\)

jest ciągła, a więc z twierdzenia o odwozorowaniu otwartym \(\displaystyle{ I_X^{-1}= I_X\colon (X, \|\cdot \|)\to (X, \|\cdot\|^\prime)}\) jest ciągłe. Istnieje zatem taka stała \(\displaystyle{ c\geqslant 1}\), że

\(\displaystyle{ \|w\|^\prime \leqslant c\|w\|}\)

dla wszelkich \(\displaystyle{ w\in X}\).

Pokażemy, iż rzut

\(\displaystyle{ P (x+y) = x\quad x\in L,\; y\in M}\)

jest ciągły (ograniczony). Ustalmy \(\displaystyle{ x+y\in L\oplus M}\). Mamy

\(\displaystyle{ \|P(x+y)\| = \|x\| \leqslant \|x\| + \|y\| = \|x+y\|^\prime \leqslant c \|x+y\|.}\) \(\displaystyle{ \square}\)

Zadanie 2 to twierdzenie Gurarjego.
  • V. I. Gurariĭ, Subspaces of differentiable functions in the space of continuous functions. (Russian) Teor. Funkciĭ Funkcional. Anal. i Priložen. Vyp. 4 (1967), 116–121.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ A\subset C[0,1]}\) jest domkniętą podprzestrzenią złożoną z funkcji różniczkowalnych. Pokażemy, że kula jednostkowa \(\displaystyle{ A}\) jest zwarta, co będzie implikowało skończony wymiar (lemat Riesza). Z twierdzenia Arzeli-Ascoliego wystarczy pokazać, że elementy kuli jednostkowej \(\displaystyle{ A}\) są równociągłe (jednakowo ciągłe).

Niech \(\displaystyle{ D}\) oznacza operator różniczkowania, \(\displaystyle{ Df = f^\prime}\). Operator \(\displaystyle{ D}\) ma domknięty wykres, a zatem z twierdzenia o wykresie domkniętym (wniosku z twierdzenia o odwzorowaniu otwartym) \(\displaystyle{ D}\) jest operatorem ograniczonym. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \|D\|}\) normę \(\displaystyle{ D}\) jako operatora \(\displaystyle{ D\colon A\to C[0,1]}\).

Przechodzimy do dowodu jednakowej ciągłości. Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\) i niech

\(\displaystyle{ \delta=\frac{\varepsilon}{2\|D\|}.}\)

Z twierdzenia o wartości średniej wynika, że dla każdych dwóch punktów \(\displaystyle{ x_1, x_2\in [0,1]}\), które spełniają \(\displaystyle{ |x_1-x_2| \leqslant \delta}\) i wszelkich \(\displaystyle{ f\in A}\), \(\displaystyle{ \|f\|\leqslant 1}\) mamy

\(\displaystyle{ \begin{array}{lcl}|f(x_2)-f(x_1)|&=&|f'(\xi_f)(x_2-x_1)|\\ &=&|f'(\xi_f)||x_2-x_1|\\ &\leqslant& \Vert f'\Vert_\infty\delta\\ &\leqslant & \Vert D\Vert\Vert f\Vert_\infty\delta\\ &\leqslant & \Vert D\Vert\cdot 1\cdot \frac{\varepsilon}{2\Vert D\Vert}\\ &<&\varepsilon\end{array}}\)

dla pewnego \(\displaystyle{ \xi_f\in [0,1]}\). \(\displaystyle{ \square}\)

ODPOWIEDZ