Matematyka.pl

Wyznacz rząd macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}
1-p&2&1&p\\
1&2-p&1&0\\
1&2&1-p&p
\end{array}\right]}\)

Mam problem, jak w ogóle zabrać się za to zadanie.

W badaniu rzędu wiersze macierzy możesz zamienić, więc proponuję przepisać macierz od dołu i wtedy możesz doprowadzić do postaci trójkątnej np. w wygodny sposób.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}
1&2&1-p&p\\
1&2-p&1&0\\
1-p&2&1&p
\end{array}\right]}\)

Mam teraz taką postać, odejmuję od drugiego wiersza wiersz pierwszy, a co zrobić z 1-p w wierszu trzecim?

Pomnóż pierwszy wiersz razy \(\displaystyle{ -1+p}\) i dodaj do ostatniego.

Ja bym sugerował coś takiego
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}
1-p&2&1&p\\
1&2-p&1&0\\
1&2&1-p&p
\end{array}\right]= \left[ w _{3}-w _{1} \right] = \left[\begin{array}{cccc}
1-p&2&1&p\\
1&2-p&1&0\\
p&0&-p&0
\end{array}\right]}\)
Dla p=0 ostatnia kolumna jest zerowa i bez problemu określisz rząd macierzy złożonej z pierwszych trzech kolumn.

Dla p różnego od zera masz
\(\displaystyle{ rz \left[\begin{array}{cccc}
1-p&2&1&p\\
1&2-p&1&0\\
p&0&-p&0
\end{array}\right]=1+rz \left[\begin{array}{ccc}
1&2-p&1\\
p&0&-p
\end{array}\right]}\)
czy wyznacznik złożony z 1 i 3 kolumny tej macierzy wynosi zero?

Wynosi -2p, czyli jest różny od 0.