Granica funkcji bez reguły de l'Hospitala
: 10 sty 2015, o 16:02
Hej zacząłem rozwiązywać taki przykład i stanąłem w miejscu:
Metoda 1:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{\tg x - \sin x}{\sin ^{3} x} = \lim_{ x\to 0 } \frac{ \frac{\tg x}{x}x - \frac{\sin x}{x}x }{ \left( \frac{\sin x}{x}x \right)^{3}} = \lim_{ x\to 0 } \frac{x\left( \frac{\tg x}{x} - \frac{\sin x}{x} \right) }{x^{3}\left( \frac{\sin x}{x} \right)^{3} } = \lim_{ x\to 0 } \frac{ \frac{\tg x}{x} - \frac{\sin x}{x} }{x^{2}\left( \frac{\sin x}{x} \right)^{3} } = \left[ \frac{1 - 1}{0^{2} \cdot 1^{3}} \right] = \left[ \frac{0}{0} \right] = ...?}\)
Metoda 2:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{\tg x - \sin x}{\sin ^{3} x} = \lim_{ x \to 0} \frac{ \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{\sin ^{3}x} = \lim_{ x\to 0 } \frac{\sin x}{\cos x\sin ^{3}x} - \frac{\sin x}{\sin ^{3}x} =}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{1}{\cos x\sin ^{2}x} - \frac{\cos x}{\cos x\sin ^{2}x} = \lim_{ x\to 0 } \frac{1 - \cos x}{\cos x\sin ^{2}x} = \lim_{ x\to 0 } \frac{\cos x \left( \frac{1}{\cos x} -1 \right)}{\cos x\sin ^{2}x} = \lim_{ x\to 0 } \frac{\frac{1}{\cos x} -1 }{\sin ^{2}x} = \left[ \frac{1 -1}{0} \right] = \left[ \frac{0}{0} \right] = ...?}\)
Wiem, że wynik powinien wyjść \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i widziałem już gdzieś w internecie rozwiązane to za pomocą reguły de l'Hospitala, ale czytałem też, że można i bez tego sobie poradzić - i właśnie na tym by mi zależało. Z góry dzięki za pomoc!
Metoda 1:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{\tg x - \sin x}{\sin ^{3} x} = \lim_{ x\to 0 } \frac{ \frac{\tg x}{x}x - \frac{\sin x}{x}x }{ \left( \frac{\sin x}{x}x \right)^{3}} = \lim_{ x\to 0 } \frac{x\left( \frac{\tg x}{x} - \frac{\sin x}{x} \right) }{x^{3}\left( \frac{\sin x}{x} \right)^{3} } = \lim_{ x\to 0 } \frac{ \frac{\tg x}{x} - \frac{\sin x}{x} }{x^{2}\left( \frac{\sin x}{x} \right)^{3} } = \left[ \frac{1 - 1}{0^{2} \cdot 1^{3}} \right] = \left[ \frac{0}{0} \right] = ...?}\)
Metoda 2:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{\tg x - \sin x}{\sin ^{3} x} = \lim_{ x \to 0} \frac{ \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{\sin ^{3}x} = \lim_{ x\to 0 } \frac{\sin x}{\cos x\sin ^{3}x} - \frac{\sin x}{\sin ^{3}x} =}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{1}{\cos x\sin ^{2}x} - \frac{\cos x}{\cos x\sin ^{2}x} = \lim_{ x\to 0 } \frac{1 - \cos x}{\cos x\sin ^{2}x} = \lim_{ x\to 0 } \frac{\cos x \left( \frac{1}{\cos x} -1 \right)}{\cos x\sin ^{2}x} = \lim_{ x\to 0 } \frac{\frac{1}{\cos x} -1 }{\sin ^{2}x} = \left[ \frac{1 -1}{0} \right] = \left[ \frac{0}{0} \right] = ...?}\)
Wiem, że wynik powinien wyjść \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i widziałem już gdzieś w internecie rozwiązane to za pomocą reguły de l'Hospitala, ale czytałem też, że można i bez tego sobie poradzić - i właśnie na tym by mi zależało. Z góry dzięki za pomoc!