Matematyka.pl

Dowieść, że w dowolnym trapezie opisanym na okręgu zachodzi nierówność \(\displaystyle{ m^2 + n^2 \ge 16r^2}\) gdzie \(\displaystyle{ m}\), \(\displaystyle{ n}\) oznaczają długości przekątnych, a \(\displaystyle{ r}\) to promień okręgu wpisanego w ten trapez. Kiedy zajdzie równość?

Możesz z pitagorasa uzależnić przekątne od boków i wysokości, czyli dwoma promieniami okręgu.

niestety nadal nie mam pomysłu na to

Zadanie jest źle sformułowane,bo z niego wynika,że w każdy trapez można wpisać okrąg. Powinno być: Dowieść,że w każdym trapezie,w który można wpisać okrąg, itd... .
Tutaj twierdzenie Pitagorasa niewiele pomaga. Trzeba ,po kolei:
1) Skorzystać z nierówności między średnią arytmetyczna i średnią geometryczną kwadratów liczb m i n.
2) Wyrazić pole tego trapezu poprzez przekątne i sinus kąta między nimi.
3) Skorzystać z tego,że sumy długości przeciwległych boków tego trapezu są równe(warunek wpisywalności okręgu w czworokąt)
4) Skorzystać z tego,że w trójkącie prostokątnym najdłuższym bokiem jest przeciwprostokątna.

idąc tropem ze wskazówek:

\(\displaystyle{ m^2 + n^2 \geq 2mn}\)

\(\displaystyle{ S = mn\sin\alpha \leq mn}\)

\(\displaystyle{ 2S \leq m^2 + n^2}\)

powinniśmy pokazać \(\displaystyle{ 2S \geq 16r^2}\)

ale ja umiem tylko pokazać: \(\displaystyle{ 2S \geq 8r^2}\)

\(\displaystyle{ S = \frac{1}{2}r(a+b+c+d) = \frac{1}{2}r(c+d+c+d) = r(c+d) \geq r(2r + 2r) = 4r^2}\)

\(\displaystyle{ 2S \geq 8r^2}\)

Ok. Nie masz tam przypadkiem błędu w drugiej linijce?
Według mnie powinno być

\(\displaystyle{ {\red 2S} = mn\sin\alpha \le mn}\)

Wtedy \(\displaystyle{ 4S \le m^2 + n^2}\) więc \(\displaystyle{ 4S \ge 16r^2}\) i jest to dokładnie co wykazałeś.
Wychodzi, że równość zajdzie kiedy ten trapez jest kwadratem?

całkiem możliwe