Linia ugięcia belki.

spajder8306
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 5 sty 2015, o 13:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Linia ugięcia belki.

Post autor: spajder8306 » 5 sty 2015, o 14:39

Proszę o pomoc w wyznaczeniu stałych całkowania. Z calkowania równania lini ugięcia wyszły mi następujące wyniki.

EI \(W_{1} = -\frac{P} {12} x^{3} + C_{1} + D_{1}\)

EI \(W_{2} = - \frac{P}{12} \left( l-x \right) ^{3} + C_{2}x + D_{2}\)

EI \(W'_{1} = -\frac{P}{4} x^{2} + C_{1}\)

EI\(W'_{2} = \frac{P}{4} \left( l-x \right) ^{2} + C_{2}\)

Warunki brzegowe wyznaczyłem.

\(W_{1} \left( 0 \right) =0\\ W_{2} \left( l \right) =0\\ W'_{1} \left( \frac{l}{2} \right) = W'_{2} \left( \frac{l}{2} \right) \\ W_{1} \left( \frac{l}{2} \right) = W_{2} \left( \frac{l}{2} \right)\)

Następnie podstawiałem i wynik końcowy nie chce mi wyjść taki sam jak w metodzie Castigliano (a wiem że jest dobrze zrobiona bo wynik zgadza sie z tablicami.)
Belka wygląda następująco:
http://zapodaj.net/52c2d919e1870.jpg.html
Proszę o pomoc w wyznaczeniu stałych, bo stanąłem w miejscu
Ostatnio zmieniony 5 sty 2015, o 18:58 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6289
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów

Linia ugięcia belki.

Post autor: kruszewski » 5 sty 2015, o 16:25

Byłoby wskazane przytoczenie całego rozwiązania a nie tylko wyników
końcowych bo wtedy można znaleźć miejsce gdzie jest błąd.-- 5 sty 2015, o 23:03 --Po formie zapisu i oznaczeń mam wrażenie, że Kolega czytał Wytrz.mater. oraz podst.teorii spr. i plast. prof. J.Walczaka. Dobrze czuję?
W.Kr.

Awatar użytkownika
siwymech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2193
Rejestracja: 17 kwie 2012, o 14:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Targ

Linia ugięcia belki.

Post autor: siwymech » 6 sty 2015, o 12:06

[img]http://www.iv.pl/images/79925924174084393658.jpg[/img]

Równanie różniczkowe linii ugięcia belki
(1)\(E \cdot J \cdot w"=-M(x)\)
\(w=w(x)\) \(\) równanie linia ugięcia
................................................................................
1.Uwalniam belkę od więzów, wprowadzam siły reakcji i obliczam je w oparciu o analityczne warunki równowagi./ Zwracam uwagę na symetrię obciążenia/
(1)\(R _{A}-P +R_{B}=0\)
(2)\(-P \cdot 0,5l+R _{B} \cdot l=0\)
(3) Spr. popr. obl. \(\) \(\Sigma M _{B}=0\)
-------------------------------------------------
(4)\(R_{A}=R_{B}=0,5P\)
-------------------------------------------------
2. Równanie momentu zginającego belki liczone, tylko dla przedziału lewego.
/Po prawej stronie ta sama wartość- z symetrii obciążenia./
(4)\(M ^{L}=R _{A} \cdot x=0,5P \cdot x\)
3. Równanie(1) dla tego przedziału.
(5) \(E \cdot J \cdot w"=-0,5P \cdot x\)
4.Rozwiązujemy równanie (1) całkując je dwukrotnie;
(6) \(E \cdot J \cdot w'=-0,5P \cdot \frac{x ^{2} }{2}+C\),
(6') \(E \cdot J \cdot w=-0,5P \cdot \frac{x ^{3} }{6}+C \cdot x+D\)
4.1. Wyznaczenie stałych całk.C i D z warunków brzegowych( odkształcenia na podporach i warunku ciągłości linii ugięcia na granicy sąsiednich przedziałów);
(7) Warunek odkształcenia(ugięcia) na podporze A
\(x=0,\) \(w=0\) \(\) w podporze nie ma ugięcia belki,
(8) Na granicy przedziałów maksimum ugięcia- w środku belki
\(x=0,5l ,\) \(w'=0\)
4.2. Po podstawieniu warunków brzeg. otrzymamy;
(9) \(C= \frac{P \cdot l}{16}\)
(10) \(D=0\)
4.3 Równania (6) i (6') po obl stałych całk. przyjmują postać;
(11) \(E \cdot J \cdot w'= -\frac{P}{4} \cdot x ^{2}+\frac{P \cdot l ^{2} }{16} \Rightarrow w'\) \(\)
kąt obrotu przekroju na podporze A , \(\alpha _{A}\) \(\) policzony z (11) dla x=0

\(\alpha _{A}=........\)
(11')\(E \cdot J \cdot w= -\frac{P}{12} \cdot x ^{3}+\frac{P \cdot l ^{2} }{16} \cdot x \Rightarrow w\)
\(w=..........\)
\(\) strzałka ugięcia f policzona z (11') dla x=l/2.

\(f= \frac{P \cdot l ^{3} }{48 EJ}\)
....................................................
Dla tego sposobu obciążenia f zgodne z wynikiem tablicowym.
Gdyby siła P nie była skupiona w środku długości belki, trzeba ustawiać dwa równia różniczkowe dla dwóch przedziałów!.
................
Powodzenia

spajder8306
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 5 sty 2015, o 13:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Linia ugięcia belki.

Post autor: spajder8306 » 6 sty 2015, o 15:20

Wielkie dzięki za pomoc, ale mam jeszcze jedno pytanie. Dlaczego \(\omega\) ' (\(\frac{l}{2}\))=0, tj. warunek 8. To oznaczało by że w miejscu gdzie mam maksymalne ugięcie belki to kat ugięcia jest równy 0 ?

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6289
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów

Linia ugięcia belki.

Post autor: kruszewski » 6 sty 2015, o 15:53

Jeżeli odpowiedź jest pilnie potrzebna to odpowiadam:
Tak i P."siwymech" pokazał to na rysunku kreśląc styczną do osi ugiętej belki.
Uzasadnienie najpewniej P."siwymech" poda jak zaglądnie na forum bo on prowadzi podpowiadanie w tym temacie, nie ja.

Awatar użytkownika
siwymech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2193
Rejestracja: 17 kwie 2012, o 14:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Targ

Linia ugięcia belki.

Post autor: siwymech » 6 sty 2015, o 16:39

W warunku ujęto zapis nie \(w\), \(\) a \(w'\)- pochodna, którą graficznie można zobrazować jako styczną do krzywej w danym punkcie:
\(\frac{dy}{dx}=tg \alpha\).
Dla x= 0,5l, styczna t do linii ugięcia w p.C jest pozioma, stąd \(\) \(tg \alpha\) \(\)nachylenia stycznej(pochodna) jest równy zeru.
..................................
Podpowiadam, ale wolałbym na Twoim miejscu korzystać z przepastnej skarbnicy wiedzy p.Kruszewskiego, którego Noworocznie pozdrawiam, życząc stu lat życia.

ODPOWIEDZ