Matematyka.pl

Pokazać, że operator mnożenia \(\displaystyle{ M _{\phi}}\) spełnia warunek \(\displaystyle{ M ^{2} _{\phi}= M _{\phi}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \phi}\) jest funkcją charakterystyczną.

Warunek ten oznacza, że dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\) mamy
\(\displaystyle{ \phi^2 x = \phi x.}\)
Czyli dla ustalonego \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ \phi^2 = \phi}\). Zakładam, że jesteśmy nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) lub \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\), czyli mamy \(\displaystyle{ \phi = 0}\) lub \(\displaystyle{ \phi = 1}\); dla pewnych \(\displaystyle{ x}\) mamy zatem \(\displaystyle{ M_\phi (x) = x}\), a dla pewnych \(\displaystyle{ M_\phi (x) = 0}\). (Jeżeli dobrze zrozumiałem, czym dla Ciebie jest operator mnożenia)

Właśnie nie wiem czym jest ten operator mnożenie. Także jakbyś mógł podać mi definicje tego operatora i funkcji charakterystycznej. Bo nie mogę tego znaleźć.

No dla mnie operator mnożenia, dla ustalonej funkcji \(\displaystyle{ \varphi}\) to \(\displaystyle{ M_\varphi (x) = \varphi(x) \cdot x}\); a co Ty przez to rozumiesz, to tego już nie wiem. De facto nie wiem nawet, w jakim świecie żyjemy. Przyjąłem, że jesteśmy na przestrzeni liniowej nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) lub \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), ale tego też nie wiem.

Nie jestem w stanie odpowiedzieć na Twoje pytanie, dopóki nie sprecyzujesz o co konkretnie chodzi.

Jesteśmy w przestrzeni Hilberta tylko tyle mam powiedziane w zadaniu.-- 6 sty 2015, o 18:25 --tutaj wykazałeś mi implikacje w jedną stronę tak ?
że jeśli mamy funkcje charakterystyczną to mamy równość \(\displaystyle{ M ^{2} _{\phi}= M _{\phi}}\)

A co w drugą stronę ?

Wykazałem właśnie w drugą stronę. W tę stronę, o której mówisz, implikacja jest oczywista - sprawdź to.