Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
adam1407
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 27 lis 2013, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta

Post autor: adam1407 » 5 sty 2015, o 10:16

Witajcie,

polecenie do zadania brzmi tak: Rozwiń w szereg Laurenta funkcję: \(f(z)=\frac{z}{z-i}\) wokół punktu \(z=1\) w pierścieniu \(|z-1|<\sqrt{2}\).

Mamy:

\(\frac{z}{z-i} = z \frac{1}{z-1-i+1} = \frac{z}{z-1} \frac{1}{1-\frac{i-1}{z-1}}\). Teraz teoretycznie drugi składnik powinienem rozwijać korzystając z własności szeregu geometrycznego. Moduł mojego ilorazu wynosi: \(\left| \frac{i-1}{z-1} \right|=\frac{\sqrt{2}}{|z-1|}\) i to musi być mniejsze od jedynki. Z drugiej strony w moim pierścieniu mam: \(\frac{|z-1|}{\sqrt{2}}<1\) czyli odwrotność jest większa od jedynki. Zatem nie mogę tego rozwijać szeregiem geometrycznym. Nie mam pomysłu co dalej z tym zrobić. Do rozwiązania zadania trzeba podać pierwsze cztery wyrazy rozwinięcia.
Ostatnio zmieniony 5 sty 2015, o 12:29 przez Dasio11, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Ten dział pasuje lepiej.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8465
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta

Post autor: Dasio11 » 5 sty 2015, o 12:28

No to trzeba podzielić na odwrót:

\(\frac{1}{z-1-i+1} = \frac{1}{1-i} \cdot \frac{1}{1 - \frac{z-1}{i-1}}.\)

Teraz \(\left| \frac{z-1}{i-1} \right| < 1,\) więc można rozwinąć.

adam1407
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 27 lis 2013, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta

Post autor: adam1407 » 5 sty 2015, o 16:28

Rozumiem. Tylko teraz nurtuje mnie to \(z\) w liczniku. Rozwijając w szereg geometryczny mam: \(\frac{z}{1-i} \left( 1+\frac{z-1}{i-1} + \left( \frac{z-1}{i-1} \right) ^2+ \ldots \right)\). Rozwijanie ma być koło jedynki, jedyne co mi przyszło na myśl to: \(\frac{z-1+1}{1-i} \left( 1+\frac{z-1}{i-1} + \left( \frac{z-1}{i-1} \right) ^2+ \ldots \right)\) i rozbicie pierwszego czynnika na dwa ułamki. Tylko później jak to składam do kupy to nie wychodzi to co powinno. Może ktoś pokazać?

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8465
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta

Post autor: Dasio11 » 5 sty 2015, o 17:39

Powinno wyjść.

\(\frac{z-1+1}{1-i} \left( 1+\frac{z-1}{i-1} + \left( \frac{z-1}{i-1} \right)^2+ \ldots \right) = \\[1ex] \frac{1}{1-i} \left[ (z-1) \left( 1+\frac{z-1}{i-1} + \left( \frac{z-1}{i-1} \right)^2+ \ldots \right) + \left( 1+\frac{z-1}{i-1} + \left( \frac{z-1}{i-1} \right) ^2+ \ldots \right) \right] = \\[2ex] \frac{1}{i-1} + \frac{i}{(i-1)^2} \cdot (z-1) + \frac{i}{(i-1)^3} \cdot (z-1)^2 + \ldots = \frac{1}{1-i} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{i}{(i-1)^{n+1}} \cdot (z-1)^n.\)

adam1407
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 27 lis 2013, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta

Post autor: adam1407 » 5 sty 2015, o 17:43

Super, mi też tak wyszło, tylko musiałem źle wzór końcowy zapisać. Dzięki za pomoc.

ODPOWIEDZ