Matematyka.pl

Witam,


Wiem iż moment bezwładności przekroju figury płaskiej względem odp osi jak na rysunku powyżej wynosi:

\(\displaystyle{ Iz = \int_{}^{} y^{2}dA}\)

Natomiast nie rozumiem biorąc pod uwagę def. całki odniesienia jednego do drugiego. Dlaczego to całka odległości \(\displaystyle{ z^{2}}\) jest momentem bezwładności wzgledem osi y ?

Dzięki za pomoc.

Najprościej jak tylko potrafię:
Na twoim rysunku widzisz, że element powierzchni \(\displaystyle{ dA}\) jest w odległości \(\displaystyle{ y}\) od osi \(\displaystyle{ z}\). Całkowity moment bezwładności to suma (rozkład elementów \(\displaystyle{ dA}\) jest ciągły dlatego całka) wszystkich elementów postaci "element powierzchni razy jego odległość od osi obrotu do kwadratu".
Dlatego względem osi \(\displaystyle{ y}\) do całkowitego momentu bezwładności wejdą elementy postaci \(\displaystyle{ z^2dA}\).

Zwróć uwagę, że odległość środka ciężkości figury od osi z to właśnie \(\displaystyle{ y}\),
natomiast odległość od osi y to \(\displaystyle{ z}\),

SidCom, dzieki o to wlaśnie chodziło. Natomiast jest jeszcze jeden ważny aspekt, jest to całka po powierzchni, a więc jak daną powierzchnię ująć w tej całce np. pow. kwadratu dla uproszczenia ?

Dzięki.

wkład infinitezymalnego elementu powierzchni \(\displaystyle{ dA}\) do momentu bezwładności \(\displaystyle{ I_t}\) wynosi \(\displaystyle{ dI_t=tdA=tdydz}\) gdzie \(\displaystyle{ t}\) - odległość \(\displaystyle{ dA}\) od osi obrotu.
czyli całkowity moment:

\(\displaystyle{ I_t=\int dI_t=\iint t^2dydz}\)

ogólnie w przypadku prostokąta o bokach \(\displaystyle{ b-a}\) i \(\displaystyle{ d-c}\) całka separuje się:

\(\displaystyle{ I_t=\int \limits_{a}^{b} \int \limits_{c}^{d}t^2dydz= \ldots}\)

uwaga \(\displaystyle{ t}\) w tej całce jest równe \(\displaystyle{ z}\) lub \(\displaystyle{ y}\) zależnie od osi wzgl. której liczysz...