Transponowanie macierzy - dowód
: 2 sty 2015, o 18:27
Pokazać, że \(\displaystyle{ (AB)^{T} = B^TA^T}\).
Niby wydaje się to oczywiste, ale jakoś gubię się w tym.
Załóżmy, że:\(\displaystyle{ A=(a_{ij}) , B=(b_{ij}), C=(c_{ij}), D=(d_{ij}), AB=C, B^TA^T=D}\)
No i tak: \(\displaystyle{ AB= (e_{ij}) \ \ \ e_{ij} = \sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}}\)
\(\displaystyle{ (AB)^T = (f_{ij}) = (e_{ji}) \ \ \ f_{ij} = \sum_{k=1}^{n}a_{jk}b_{ki}}\)
\(\displaystyle{ B^T = (b_{ji}), A^T = (a_{ji})\\
B^TA^T =(d_{ij}) \ \ (d_{ij}) = \sum_{k=1}^{n}b_{jk}a_{ki}}\)
W sumie mam wrażenie, że tego bałaganu oznaczeń, indeksów i symboli nic specjalnego nie wynika, a na pewno nie równość, którą mamy udowodnić.
Niby wydaje się to oczywiste, ale jakoś gubię się w tym.
Załóżmy, że:\(\displaystyle{ A=(a_{ij}) , B=(b_{ij}), C=(c_{ij}), D=(d_{ij}), AB=C, B^TA^T=D}\)
No i tak: \(\displaystyle{ AB= (e_{ij}) \ \ \ e_{ij} = \sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}}\)
\(\displaystyle{ (AB)^T = (f_{ij}) = (e_{ji}) \ \ \ f_{ij} = \sum_{k=1}^{n}a_{jk}b_{ki}}\)
\(\displaystyle{ B^T = (b_{ji}), A^T = (a_{ji})\\
B^TA^T =(d_{ij}) \ \ (d_{ij}) = \sum_{k=1}^{n}b_{jk}a_{ki}}\)
W sumie mam wrażenie, że tego bałaganu oznaczeń, indeksów i symboli nic specjalnego nie wynika, a na pewno nie równość, którą mamy udowodnić.