Czym różni się zbieżność warunkowa od bezwzględnej ?

Problemy matematyczne "ubrane" w życiowe problemy.
KiiiX
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 29 lis 2014, o 21:19
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk

Czym różni się zbieżność warunkowa od bezwzględnej ?

Post autor: KiiiX » 31 gru 2014, o 10:54

Witam !
Jestem na pierwszym roku studiów matematycznych , ominęłam parę lekcji z analizy matematycznej ,próbuję nadrobić. Stoję w miejscu przez zadanie z kryterium Leibniza. Nie rozumiem,nie mogę nigdzie znaleźć odpowiedzi na pytanie czym się rożni zbieżność warunkowa od bezwzględnej na czym polega jak się to robi.
Przykładowe zadania \(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=1} \frac{-1^n}{ n^{2} }}\) wiem ,ze jest on bieżny bezwzględnie ale np \(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=1} \frac{-1^{n}}{n}}\) nie jest zbiezny bezwzględnie,dlaczego ?
Jeśli ktoś mógłby jasno i klarownie wytłumaczyć , najlepiej na przykładzie.
Ostatnio zmieniony 31 gru 2014, o 10:58 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 1. instrukcji LaTeX.

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Czym różni się zbieżność warunkowa od bezwzględnej ?

Post autor: yorgin » 31 gru 2014, o 11:05

KiiiX pisze:Nie rozumiem,nie mogę nigdzie znaleźć odpowiedzi na pytanie czym się rożni zbieżność warunkowa od bezwzględnej na czym polega jak się to robi.
Znasz definicję zbieżności warunkowej/bezwarunkowej?

Zbieżność bezwzględna implikuje bezwarunkową. Szeregi, które nie są zbieżne bezwzględnie, bywają zbieżne warunkowo.
KiiiX pisze: Przykładowe zadania \(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=1} \frac{-1^n}{ n^{2} }}\) wiem ,ze jest on bieżny bezwzględnie ale np \(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=1} \frac{-1^{n}}{n}}\) nie jest zbiezny bezwzględnie,dlaczego ?
Uwaga początkowa:

\(\displaystyle{ -1^n\neq (-1)^n}\)

Odpowiedź na pytanie staje się oczywista, gdy sprawdzisz, czy spełniona jest definicja zbieżności bezwzględnej.

Tutaj na dobrą sprawę kluczowe jest zrozumienie definicji, znajomość relacji między różnymi rodzajami zbieżności oraz zrozumienie tychże.

Drugi szereg, ale z \(\displaystyle{ (-1)^n}\) jest zbieżny warunkowo. Wynik zależy istotnie od kolejności sumowania składników.

ODPOWIEDZ