Matematyka.pl

Cześć!

Mam zadanie, w którym jednym z podpunktów jest wykazanie, że macierz:

\(\displaystyle{ T= \left[
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & -5\\
1 & 1 & -2
\end{array}
\right]}\)
działając na wektor \(\displaystyle{ x}\), daje wektor ograniczony do pewnej płaszczyzny. Wiem, że ma to do czynienia z faktem, że kolumny nie są liniowo niezależne. Spodziewałbym się otrzymać dwa liniowo niezależne wektory własne, definiujące płaszczyznę, ale rozwiązując dostaję tylko albo \(\displaystyle{ v=(x, -x, 0)}\), czyli nie mogę skonstruować wektorów który nie byłyby współliniowe. Nie do końca wiem jak w sposób formalny pokazać żądaną własność.

Z góry dziękuję!

Ja to widzę następująco.

Macierz \(\displaystyle{ T}\) jest rzędu drugiego, gdyż zawiera dwie liniowo niezależne kolumny. Wobec tego obraz odwzorowania \(\displaystyle{ T}\) jest liniową przestrzenią dwuwymiarową, czyli generowaną przez dwa wektory. Wiadomo doskonale, że taką przestrzenią jest płaszczyzna.

Powyższe rozumowanie dowodzi formalnie tego, czego potrzebujesz, jednak nie wskazuje płaszczyzny, na której leżą wektory.

Wydaje mi się, że jestem proszony o wyjaśnienie skąd bierze się wnioskowanie:

\(\displaystyle{ T}\) ma dwie liniowo niezależne kolumny \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) generuje przestrzeń dwuwymiarową.

Moja trudność polega na tym, że stwierdzenie wydaje się oczywiste, ale nie wiem od czego zacząć, żeby je wykazać.

Rząd macierzy to wymiar obrazu odwzorowania zadanego przez tę macierz, który jest równy ilości liniowo niezależnych kolumn. To jest podstawowy fakt dotyczący rzędu macierzy.