Matematyka.pl

Jakie są ideały pierwsze i maksymalne w pierścieniu\(\displaystyle{ Z_n \times ... \times Z_n}\).


Wiemy, że wszystkie ideały Z_n są postaci k Z_n, gdzie k jest dzielnikiem n.
W naturalny sposób możemy uogólnić to na iloczyn kartezjański\(\displaystyle{ Z_n \times ...\times Z_n}\).


\(\displaystyle{ (Z_n \times... \times Z_n)/(k_1Z_n \times ... \times k_sZ_n)}\) musi być ciałem (dla ideałów maksymalnych) i dziedziną całkowitości (dla ideałów pierwszych).


Z moich rozważań wynika, że pierścień ten nie ma ideałów maksymalnych, natomiast posiada s ideałów pierwszych dla n = liczbie pierwszej . Może ktoś potwierdzić bądź zaprzeczyć?

Ideały maksymalne w \(\displaystyle{ Z_n}\) są postaci \(\displaystyle{ pZ_n}\), gdzie \(\displaystyle{ p < n, p \mid n, p}\) liczba pierwsza.

w \(\displaystyle{ Z_n \times... \times Z_n}\) ideały maksymalne będą postaci \(\displaystyle{ I_1 \times... \times I_n}\), gdzie dokładnie jeden \(\displaystyle{ I_j}\) będzie postaci \(\displaystyle{ pZ_n}\)(p jak wyżej) a pozostałe będą równe \(\displaystyle{ Z_n}\).

trzebiec pisze:

Z moich rozważań wynika, że pierścień ten nie ma ideałów maksymalnych, natomiast posiada s ideałów pierwszych dla n = liczbie pierwszej . Może ktoś potwierdzić bądź zaprzeczyć?

To jest bez sensu, w pierścieniu skończonym, ideał jest pierwszy wtedy i tylko wtedy gdy jest maksymalny (być może modulo jakieś detale definicyjne).

Pierścień postaci \(\displaystyle{ R_1\times R_2}\) jest ciałem wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ R_1=\{0\}}\) i \(\displaystyle{ R_2}\) jest ciałem bądź \(\displaystyle{ R_2=\{0\}}\) i \(\displaystyle{ R_1}\) jest ciałem

sebnorth pisze:Ideały maksymalne w \(\displaystyle{ Z_n}\) są postaci \(\displaystyle{ pZ_n}\), gdzie \(\displaystyle{ p < n, p \mid n, p}\) liczba pierwsza.

w \(\displaystyle{ Z_n \times... \times Z_n}\) ideały maksymalne będą postaci \(\displaystyle{ I_1 \times... \times I_n}\), gdzie dokładnie jeden \(\displaystyle{ I_j}\) będzie postaci \(\displaystyle{ pZ_n}\)(p jak wyżej) a pozostałe będą równe \(\displaystyle{ Z_n}\).

Lekkie odkopanie tematu. Czy istnieje możliwość wyjaśnienia, skąd się to wzięło?
Generalnie chodzi o to że \(\displaystyle{ Z_n \setminus kZ_n = Z_k}\). Stąd wiem, że \(\displaystyle{ k\in\PP}\) by \(\displaystyle{ kZ_n}\) był maksymalny (i pierwszy).
Jeśli można to dlaczego taka potem jest ostateczna odpowiedź:

w \(\displaystyle{ Z_n \times... \times Z_n}\) ideały maksymalne będą postaci\(\displaystyle{ I_1 \times... \times I_n}\), gdzie dokładnie jeden \(\displaystyle{ I_j}\) będzie postaci \(\displaystyle{ pZ_n}\)(\(\displaystyle{ p}\) jak wyżej) a pozostałe będą równe \(\displaystyle{ Z_n}\).

Najbardziej to mnie intryguje. Z góry dziękuję za odpowiedź i pomoc!